Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26822 / 10858
↖ ↑ ↗
← N 51.767840°
E114.675293°		 ← 756.01 m → N 51.767840°
E114.686279°		 →
↑
756.05 m
↓
↑
756.05 m
↓
N 51.761040°
E114.675293°		 ← 756.12 m →
571 622 m²		 N 51.761040°
E114.686279°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26822 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10858 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.818557739257812 y=0.331375122070312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.818557739257812 × 215)
    floor (0.818557739257812 × 32768)
    floor (26822.5)     		tx = 26822
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.331375122070312 × 215)
    floor (0.331375122070312 × 32768)
    floor (10858.5)     		ty = 10858
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26822 / 10858 ti = "15/26822/10858"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26822/10858.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26822 ÷ 215
    26822 ÷ 32768     		x = 0.81854248046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10858 ÷ 215
    10858 ÷ 32768     		y = 0.33135986328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.81854248046875 × 2 - 1) × π
    0.6370849609375 × 3.1415926535     		Λ = 2.00146143
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33135986328125 × 2 - 1) × π
    0.3372802734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.05959722920172
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00146143} λ = 2.00146143}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05959722920172))-π/2
    2×atan(2.88520867740883)-π/2
    2×1.23715778972759-π/2
    2.47431557945518-1.57079632675     		φ = 0.90351925
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00146143} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.675293°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90351925 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.767840°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26822 KachelY 10858 2.00146143 0.90351925 114.675293 51.767840
    Oben rechts KachelX + 1 26823 KachelY 10858 2.00165318 0.90351925 114.686279 51.767840
    Unten links KachelX 26822 KachelY + 1 10859 2.00146143 0.90340058 114.675293 51.761040
    Unten rechts KachelX + 1 26823 KachelY + 1 10859 2.00165318 0.90340058 114.686279 51.761040
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90351925-0.90340058) × R
    0.000118669999999987 × 6371000     		dl = 756.04656999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90351925-0.90340058) × R
    0.000118669999999987 × 6371000     		dr = 756.04656999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00146143-2.00165318) × cos(0.90351925) × R
    0.000191749999999935 × 0.618849401381119 × 6371000     		do = 756.010718565923m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00146143-2.00165318) × cos(0.90340058) × R
    0.000191749999999935 × 0.618942613454188 × 6371000     		du = 756.124590092958m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90351925)-sin(0.90340058))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.618849401381119-0.618942613454188)×R²
    abs(2.00165318-2.00146143)×9.32120730688935e-05×R²
    0.000191749999999935×9.32120730688935e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.32120730688935e-05×40589641000000     		ar = 571622.357414752m²