Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26821 / 25091
↖ ↑ ↗
← S 68.668548°
E114.664307°		 ← 444.36 m → S 68.668548°
E114.675293°		 →
↑
444.31 m
↓
↑
444.31 m
↓
S 68.672544°
E114.664307°		 ← 444.28 m →
197 419 m²		 S 68.672544°
E114.675293°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26821 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25091 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.818527221679688 y=0.765731811523438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.818527221679688 × 215)
    floor (0.818527221679688 × 32768)
    floor (26821.5)     		tx = 26821
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.765731811523438 × 215)
    floor (0.765731811523438 × 32768)
    floor (25091.5)     		ty = 25091
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26821 / 25091 ti = "15/26821/25091"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26821/25091.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26821 ÷ 215
    26821 ÷ 32768     		x = 0.818511962890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25091 ÷ 215
    25091 ÷ 32768     		y = 0.765716552734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.818511962890625 × 2 - 1) × π
    0.63702392578125 × 3.1415926535     		Λ = 2.00126969
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.765716552734375 × 2 - 1) × π
    -0.53143310546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.66954633996732
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00126969} λ = 2.00126969}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.66954633996732))-π/2
    2×atan(0.188332485182949)-π/2
    2×0.186152040674986-π/2
    0.372304081349973-1.57079632675     		φ = -1.19849225
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00126969} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.664307°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19849225 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.668548°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26821 KachelY 25091 2.00126969 -1.19849225 114.664307 -68.668548
    Oben rechts KachelX + 1 26822 KachelY 25091 2.00146143 -1.19849225 114.675293 -68.668548
    Unten links KachelX 26821 KachelY + 1 25092 2.00126969 -1.19856199 114.664307 -68.672544
    Unten rechts KachelX + 1 26822 KachelY + 1 25092 2.00146143 -1.19856199 114.675293 -68.672544
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19849225--1.19856199) × R
    6.97400000000403e-05 × 6371000     		dl = 444.313540000257m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19849225--1.19856199) × R
    6.97400000000403e-05 × 6371000     		dr = 444.313540000257m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00126969-2.00146143) × cos(-1.19849225) × R
    0.000191739999999996 × 0.363762624000414 × 6371000     		do = 444.363523845113m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00126969-2.00146143) × cos(-1.19856199) × R
    0.000191739999999996 × 0.363697660885963 × 6371000     		du = 444.284166493497m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19849225)-sin(-1.19856199))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.363762624000414-0.363697660885963)×R²
    abs(2.00146143-2.00126969)×6.49631144507556e-05×R²
    0.000191739999999996×6.49631144507556e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.49631144507556e-05×40589641000000     		ar = 197419.100633758m²