Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26821 / 25090
↖ ↑ ↗
← S 68.664551°
E114.664307°		 ← 444.44 m → S 68.664551°
E114.675293°		 →
↑
444.44 m
↓
↑
444.44 m
↓
S 68.668548°
E114.664307°		 ← 444.36 m →
197 511 m²		 S 68.668548°
E114.675293°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26821 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25090 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.818527221679688 y=0.765701293945312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.818527221679688 × 215)
    floor (0.818527221679688 × 32768)
    floor (26821.5)     		tx = 26821
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.765701293945312 × 215)
    floor (0.765701293945312 × 32768)
    floor (25090.5)     		ty = 25090
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26821 / 25090 ti = "15/26821/25090"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26821/25090.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26821 ÷ 215
    26821 ÷ 32768     		x = 0.818511962890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25090 ÷ 215
    25090 ÷ 32768     		y = 0.76568603515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.818511962890625 × 2 - 1) × π
    0.63702392578125 × 3.1415926535     		Λ = 2.00126969
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76568603515625 × 2 - 1) × π
    -0.5313720703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.66935459236884
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00126969} λ = 2.00126969}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.66935459236884))-π/2
    2×atan(0.188368600947143)-π/2
    2×0.186186919094897-π/2
    0.372373838189793-1.57079632675     		φ = -1.19842249
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00126969} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.664307°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19842249 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.664551°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26821 KachelY 25090 2.00126969 -1.19842249 114.664307 -68.664551
    Oben rechts KachelX + 1 26822 KachelY 25090 2.00146143 -1.19842249 114.675293 -68.664551
    Unten links KachelX 26821 KachelY + 1 25091 2.00126969 -1.19849225 114.664307 -68.668548
    Unten rechts KachelX + 1 26822 KachelY + 1 25091 2.00146143 -1.19849225 114.675293 -68.668548
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19842249--1.19849225) × R
    6.97599999999188e-05 × 6371000     		dl = 444.440959999483m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19842249--1.19849225) × R
    6.97599999999188e-05 × 6371000     		dr = 444.440959999483m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00126969-2.00146143) × cos(-1.19842249) × R
    0.000191739999999996 × 0.36382760397497 × 6371000     		do = 444.44290179262m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00126969-2.00146143) × cos(-1.19849225) × R
    0.000191739999999996 × 0.363762624000414 × 6371000     		du = 444.363523845113m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19842249)-sin(-1.19849225))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.36382760397497-0.363762624000414)×R²
    abs(2.00146143-2.00126969)×6.49799745562896e-05×R²
    0.000191739999999996×6.49799745562896e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.49799745562896e-05×40589641000000     		ar = 197510.990612586m²