Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26821 / 10855
↖ ↑ ↗
← N 51.788232°
E114.664307°		 ← 755.63 m → N 51.788232°
E114.675293°		 →
↑
755.73 m
↓
↑
755.73 m
↓
N 51.781435°
E114.664307°		 ← 755.74 m →
571 094 m²		 N 51.781435°
E114.675293°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26821 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10855 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.818527221679688 y=0.331283569335938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.818527221679688 × 215)
    floor (0.818527221679688 × 32768)
    floor (26821.5)     		tx = 26821
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.331283569335938 × 215)
    floor (0.331283569335938 × 32768)
    floor (10855.5)     		ty = 10855
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26821 / 10855 ti = "15/26821/10855"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26821/10855.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26821 ÷ 215
    26821 ÷ 32768     		x = 0.818511962890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10855 ÷ 215
    10855 ÷ 32768     		y = 0.331268310546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.818511962890625 × 2 - 1) × π
    0.63702392578125 × 3.1415926535     		Λ = 2.00126969
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.331268310546875 × 2 - 1) × π
    0.33746337890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.06017247199716
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00126969} λ = 2.00126969}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06017247199716))-π/2
    2×atan(2.88686885036934)-π/2
    2×1.23733574384494-π/2
    2.47467148768988-1.57079632675     		φ = 0.90387516
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00126969} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.664307°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90387516 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.788232°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26821 KachelY 10855 2.00126969 0.90387516 114.664307 51.788232
    Oben rechts KachelX + 1 26822 KachelY 10855 2.00146143 0.90387516 114.675293 51.788232
    Unten links KachelX 26821 KachelY + 1 10856 2.00126969 0.90375654 114.664307 51.781435
    Unten rechts KachelX + 1 26822 KachelY + 1 10856 2.00146143 0.90375654 114.675293 51.781435
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90387516-0.90375654) × R
    0.000118619999999958 × 6371000     		dl = 755.728019999734m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90387516-0.90375654) × R
    0.000118619999999958 × 6371000     		dr = 755.728019999734m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00126969-2.00146143) × cos(0.90387516) × R
    0.000191739999999996 × 0.618569791450217 × 6371000     		do = 755.629727018469m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00126969-2.00146143) × cos(0.90375654) × R
    0.000191739999999996 × 0.618662990374151 × 6371000     		du = 755.743576544301m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90387516)-sin(0.90375654))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.618569791450217-0.618662990374151)×R²
    abs(2.00146143-2.00126969)×9.31989239340014e-05×R²
    0.000191739999999996×9.31989239340014e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.31989239340014e-05×40589641000000     		ar = 571093.577760809m²