Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26820 / 51060
↖ ↑ ↗
← S 70.355706°
W 32.673340°		 ← 205.36 m → S 70.355706°
W 32.667846°		 →
↑
205.34 m
↓
↑
205.34 m
↓
S 70.357552°
W 32.673340°		 ← 205.34 m →
42 165 m²		 S 70.357552°
W 32.667846°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26820 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51060 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.409248352050781 y=0.779121398925781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.409248352050781 × 216)
    floor (0.409248352050781 × 65536)
    floor (26820.5)     		tx = 26820
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.779121398925781 × 216)
    floor (0.779121398925781 × 65536)
    floor (51060.5)     		ty = 51060
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26820 / 51060 ti = "16/26820/51060"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26820/51060.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26820 ÷ 216
    26820 ÷ 65536     		x = 0.40924072265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51060 ÷ 216
    51060 ÷ 65536     		y = 0.77911376953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.40924072265625 × 2 - 1) × π
    -0.1815185546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.57025736
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77911376953125 × 2 - 1) × π
    -0.5582275390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.75372353570013
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.57025736} λ = -0.57025736}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75372353570013))-π/2
    2×atan(0.173128093137813)-π/2
    2×0.171428807773631-π/2
    0.342857615547262-1.57079632675     		φ = -1.22793871
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.57025736} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.673340°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22793871 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.355706°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26820 KachelY 51060 -0.57025736 -1.22793871 -32.673340 -70.355706
    Oben rechts KachelX + 1 26821 KachelY 51060 -0.57016148 -1.22793871 -32.667846 -70.355706
    Unten links KachelX 26820 KachelY + 1 51061 -0.57025736 -1.22797094 -32.673340 -70.357552
    Unten rechts KachelX + 1 26821 KachelY + 1 51061 -0.57016148 -1.22797094 -32.667846 -70.357552
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22793871--1.22797094) × R
    3.22299999999665e-05 × 6371000     		dl = 205.337329999786m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22793871--1.22797094) × R
    3.22299999999665e-05 × 6371000     		dr = 205.337329999786m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.57025736--0.57016148) × cos(-1.22793871) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.336179758417439 × 6371000     		do = 205.355902975438m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.57025736--0.57016148) × cos(-1.22797094) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.336149404098477 × 6371000     		du = 205.337360994776m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22793871)-sin(-1.22797094))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.336179758417439-0.336149404098477)×R²
    abs(-0.57016148--0.57025736)×3.03543189611455e-05×R²
    9.58800000000481e-05×3.03543189611455e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×3.03543189611455e-05×40589641000000     		ar = 42165.3291397742m²