Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26820 / 25109
↖ ↑ ↗
← S 68.740367°
E114.653320°		 ← 442.96 m → S 68.740367°
E114.664307°		 →
↑
442.91 m
↓
↑
442.91 m
↓
S 68.744351°
E114.653320°		 ← 442.88 m →
196 175 m²		 S 68.744351°
E114.664307°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26820 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25109 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.818496704101562 y=0.766281127929688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.818496704101562 × 215)
    floor (0.818496704101562 × 32768)
    floor (26820.5)     		tx = 26820
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.766281127929688 × 215)
    floor (0.766281127929688 × 32768)
    floor (25109.5)     		ty = 25109
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26820 / 25109 ti = "15/26820/25109"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26820/25109.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26820 ÷ 215
    26820 ÷ 32768     		x = 0.8184814453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25109 ÷ 215
    25109 ÷ 32768     		y = 0.766265869140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8184814453125 × 2 - 1) × π
    0.636962890625 × 3.1415926535     		Λ = 2.00107794
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.766265869140625 × 2 - 1) × π
    -0.53253173828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.67299779673996
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00107794} λ = 2.00107794}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.67299779673996))-π/2
    2×atan(0.187683584222435)-π/2
    2×0.185525293383216-π/2
    0.371050586766432-1.57079632675     		φ = -1.19974574
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00107794} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.653320°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19974574 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.740367°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26820 KachelY 25109 2.00107794 -1.19974574 114.653320 -68.740367
    Oben rechts KachelX + 1 26821 KachelY 25109 2.00126969 -1.19974574 114.664307 -68.740367
    Unten links KachelX 26820 KachelY + 1 25110 2.00107794 -1.19981526 114.653320 -68.744351
    Unten rechts KachelX + 1 26821 KachelY + 1 25110 2.00126969 -1.19981526 114.664307 -68.744351
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19974574--1.19981526) × R
    6.95200000000451e-05 × 6371000     		dl = 442.911920000287m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19974574--1.19981526) × R
    6.95200000000451e-05 × 6371000     		dr = 442.911920000287m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00107794-2.00126969) × cos(-1.19974574) × R
    0.000191749999999935 × 0.362594723019239 × 6371000     		do = 442.959945483031m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00107794-2.00126969) × cos(-1.19981526) × R
    0.000191749999999935 × 0.362529933193006 × 6371000     		du = 442.880795688304m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19974574)-sin(-1.19981526))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.362594723019239-0.362529933193006)×R²
    abs(2.00126969-2.00107794)×6.47898262336466e-05×R²
    0.000191749999999935×6.47898262336466e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.47898262336466e-05×40589641000000     		ar = 196174.711822795m²