Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 2682 / 3735
↖ ↑ ↗
← N 69.480672°
W121.069336°		 ← 856.43 m → N 69.480672°
W121.047363°		 →
↑
856.58 m
↓
↑
856.58 m
↓
N 69.472968°
W121.069336°		 ← 856.73 m →
733 730 m²		 N 69.472968°
W121.047363°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2682 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3735 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.163726806640625 y=0.227996826171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.163726806640625 × 214)
    floor (0.163726806640625 × 16384)
    floor (2682.5)     		tx = 2682
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.227996826171875 × 214)
    floor (0.227996826171875 × 16384)
    floor (3735.5)     		ty = 3735
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 2682 / 3735 ti = "14/2682/3735"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/2682/3735.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2682 ÷ 214
    2682 ÷ 16384     		x = 0.1636962890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3735 ÷ 214
    3735 ÷ 16384     		y = 0.22796630859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1636962890625 × 2 - 1) × π
    -0.672607421875 × 3.1415926535     		Λ = -2.11305854
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.22796630859375 × 2 - 1) × π
    0.5440673828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.70923809285272
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.11305854} λ = -2.11305854}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.70923809285272))-π/2
    2×atan(5.52475052673767)-π/2
    2×1.39173140855948-π/2
    2.78346281711896-1.57079632675     		φ = 1.21266649
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.11305854} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -121.069336°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21266649 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.480672°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2682 KachelY 3735 -2.11305854 1.21266649 -121.069336 69.480672
    Oben rechts KachelX + 1 2683 KachelY 3735 -2.11267504 1.21266649 -121.047363 69.480672
    Unten links KachelX 2682 KachelY + 1 3736 -2.11305854 1.21253204 -121.069336 69.472968
    Unten rechts KachelX + 1 2683 KachelY + 1 3736 -2.11267504 1.21253204 -121.047363 69.472968
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21266649-1.21253204) × R
    0.000134450000000008 × 6371000     		dl = 856.580950000052m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21266649-1.21253204) × R
    0.000134450000000008 × 6371000     		dr = 856.580950000052m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.11305854--2.11267504) × cos(1.21266649) × R
    0.00038349999999987 × 0.350523338450724 × 6371000     		do = 856.426136584588m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.11305854--2.11267504) × cos(1.21253204) × R
    0.00038349999999987 × 0.350649254967064 × 6371000     		du = 856.733785701756m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21266649)-sin(1.21253204))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.350523338450724-0.350649254967064)×R²
    abs(-2.11267504--2.11305854)×0.000125916516339863×R²
    0.00038349999999987×0.000125916516339863×6371000²
    0.00038349999999987×0.000125916516339863×40589641000000     		ar = 733730.077973901m²