Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26819 / 7615
↖ ↑ ↗
← N 79.750909°
W 32.678833°		 ← 108.68 m → N 79.750909°
W 32.673340°		 →
↑
108.69 m
↓
↑
108.69 m
↓
N 79.749932°
W 32.678833°		 ← 108.69 m →
11 812 m²		 N 79.749932°
W 32.673340°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26819 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7615 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.409233093261719 y=0.116203308105469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.409233093261719 × 216)
    floor (0.409233093261719 × 65536)
    floor (26819.5)     		tx = 26819
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.116203308105469 × 216)
    floor (0.116203308105469 × 65536)
    floor (7615.5)     		ty = 7615
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26819 / 7615 ti = "16/26819/7615"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26819/7615.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26819 ÷ 216
    26819 ÷ 65536     		x = 0.409225463867188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7615 ÷ 216
    7615 ÷ 65536     		y = 0.116195678710938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.409225463867188 × 2 - 1) × π
    -0.181549072265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.57035323
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.116195678710938 × 2 - 1) × π
    0.767608642578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.41151367228654
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.57035323} λ = -0.57035323}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.41151367228654))-π/2
    2×atan(11.1508270750152)-π/2
    2×1.48135613958286-π/2
    2.96271227916573-1.57079632675     		φ = 1.39191595
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.57035323} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.678833°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39191595 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.750909°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26819 KachelY 7615 -0.57035323 1.39191595 -32.678833 79.750909
    Oben rechts KachelX + 1 26820 KachelY 7615 -0.57025736 1.39191595 -32.673340 79.750909
    Unten links KachelX 26819 KachelY + 1 7616 -0.57035323 1.39189889 -32.678833 79.749932
    Unten rechts KachelX + 1 26820 KachelY + 1 7616 -0.57025736 1.39189889 -32.673340 79.749932
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39191595-1.39189889) × R
    1.70600000000132e-05 × 6371000     		dl = 108.689260000084m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39191595-1.39189889) × R
    1.70600000000132e-05 × 6371000     		dr = 108.689260000084m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.57035323--0.57025736) × cos(1.39191595) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.177927927215526 × 6371000     		do = 108.676201884691m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.57035323--0.57025736) × cos(1.39189889) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.177944714972114 × 6371000     		du = 108.686455641101m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39191595)-sin(1.39189889))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.177927927215526-0.177944714972114)×R²
    abs(-0.57025736--0.57035323)×1.67877565880326e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.67877565880326e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.67877565880326e-05×40589641000000     		ar = 11812.4931996459m²