Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26819 / 25094
↖ ↑ ↗
← S 68.680533°
E114.642334°		 ← 444.15 m → S 68.680533°
E114.653320°		 →
↑
444.12 m
↓
↑
444.12 m
↓
S 68.684527°
E114.642334°		 ← 444.07 m →
197 239 m²		 S 68.684527°
E114.653320°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26819 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25094 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.818466186523438 y=0.765823364257812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.818466186523438 × 215)
    floor (0.818466186523438 × 32768)
    floor (26819.5)     		tx = 26819
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.765823364257812 × 215)
    floor (0.765823364257812 × 32768)
    floor (25094.5)     		ty = 25094
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26819 / 25094 ti = "15/26819/25094"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26819/25094.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26819 ÷ 215
    26819 ÷ 32768     		x = 0.818450927734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25094 ÷ 215
    25094 ÷ 32768     		y = 0.76580810546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.818450927734375 × 2 - 1) × π
    0.63690185546875 × 3.1415926535     		Λ = 2.00088619
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76580810546875 × 2 - 1) × π
    -0.5316162109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.67012158276276
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00088619} λ = 2.00088619}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.67012158276276))-π/2
    2×atan(0.188224179431738)-π/2
    2×0.186047442786225-π/2
    0.372094885572449-1.57079632675     		φ = -1.19870144
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00088619} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.642334°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19870144 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.680533°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26819 KachelY 25094 2.00088619 -1.19870144 114.642334 -68.680533
    Oben rechts KachelX + 1 26820 KachelY 25094 2.00107794 -1.19870144 114.653320 -68.680533
    Unten links KachelX 26819 KachelY + 1 25095 2.00088619 -1.19877115 114.642334 -68.684527
    Unten rechts KachelX + 1 26820 KachelY + 1 25095 2.00107794 -1.19877115 114.653320 -68.684527
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19870144--1.19877115) × R
    6.97100000000006e-05 × 6371000     		dl = 444.122410000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19870144--1.19877115) × R
    6.97100000000006e-05 × 6371000     		dr = 444.122410000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00088619-2.00107794) × cos(-1.19870144) × R
    0.000191749999999935 × 0.363567757297697 × 6371000     		do = 444.14864234919m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00088619-2.00107794) × cos(-1.19877115) × R
    0.000191749999999935 × 0.363502816826034 × 6371000     		du = 444.069308520093m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19870144)-sin(-1.19877115))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.363567757297697-0.363502816826034)×R²
    abs(2.00107794-2.00088619)×6.49404716626667e-05×R²
    0.000191749999999935×6.49404716626667e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.49404716626667e-05×40589641000000     		ar = 197238.748552717m²