Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26819 / 11465
↖ ↑ ↗
← N 47.450380°
E114.642334°		 ← 826.11 m → N 47.450380°
E114.653320°		 →
↑
826.19 m
↓
↑
826.19 m
↓
N 47.442950°
E114.642334°		 ← 826.22 m →
682 571 m²		 N 47.442950°
E114.653320°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26819 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11465 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.818466186523438 y=0.349899291992188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.818466186523438 × 215)
    floor (0.818466186523438 × 32768)
    floor (26819.5)     		tx = 26819
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.349899291992188 × 215)
    floor (0.349899291992188 × 32768)
    floor (11465.5)     		ty = 11465
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26819 / 11465 ti = "15/26819/11465"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26819/11465.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26819 ÷ 215
    26819 ÷ 32768     		x = 0.818450927734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11465 ÷ 215
    11465 ÷ 32768     		y = 0.349884033203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.818450927734375 × 2 - 1) × π
    0.63690185546875 × 3.1415926535     		Λ = 2.00088619
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.349884033203125 × 2 - 1) × π
    0.30023193359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.943206436924225
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00088619} λ = 2.00088619}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.943206436924225))-π/2
    2×atan(2.56820301123986)-π/2
    2×1.19948084269681-π/2
    2.39896168539363-1.57079632675     		φ = 0.82816536
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00088619} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.642334°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82816536 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.450380°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26819 KachelY 11465 2.00088619 0.82816536 114.642334 47.450380
    Oben rechts KachelX + 1 26820 KachelY 11465 2.00107794 0.82816536 114.653320 47.450380
    Unten links KachelX 26819 KachelY + 1 11466 2.00088619 0.82803568 114.642334 47.442950
    Unten rechts KachelX + 1 26820 KachelY + 1 11466 2.00107794 0.82803568 114.653320 47.442950
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82816536-0.82803568) × R
    0.00012967999999991 × 6371000     		dl = 826.191279999426m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82816536-0.82803568) × R
    0.00012967999999991 × 6371000     		dr = 826.191279999426m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00088619-2.00107794) × cos(0.82816536) × R
    0.000191749999999935 × 0.676228461939311 × 6371000     		do = 826.107231071913m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00088619-2.00107794) × cos(0.82803568) × R
    0.000191749999999935 × 0.676323990468436 × 6371000     		du = 826.223932472587m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82816536)-sin(0.82803568))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.676228461939311-0.676323990468436)×R²
    abs(2.00107794-2.00088619)×9.55285291247554e-05×R²
    0.000191749999999935×9.55285291247554e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.55285291247554e-05×40589641000000     		ar = 682570.80045246m²