Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26808 / 10695
↖ ↑ ↗
← N 52.862497°
E114.521485°		 ← 737.50 m → N 52.862497°
E114.532470°		 →
↑
737.57 m
↓
↑
737.57 m
↓
N 52.855864°
E114.521485°		 ← 737.61 m →
544 001 m²		 N 52.855864°
E114.532470°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26808 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10695 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.818130493164062 y=0.326400756835938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.818130493164062 × 215)
    floor (0.818130493164062 × 32768)
    floor (26808.5)     		tx = 26808
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.326400756835938 × 215)
    floor (0.326400756835938 × 32768)
    floor (10695.5)     		ty = 10695
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26808 / 10695 ti = "15/26808/10695"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26808/10695.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26808 ÷ 215
    26808 ÷ 32768     		x = 0.818115234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10695 ÷ 215
    10695 ÷ 32768     		y = 0.326385498046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.818115234375 × 2 - 1) × π
    0.63623046875 × 3.1415926535     		Λ = 1.99877697
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.326385498046875 × 2 - 1) × π
    0.34722900390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.090852087754
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.99877697} λ = 1.99877697}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.090852087754))-π/2
    2×atan(2.97680949512518)-π/2
    2×1.24671047913757-π/2
    2.49342095827514-1.57079632675     		φ = 0.92262463
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.99877697} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.521485°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92262463 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.862497°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26808 KachelY 10695 1.99877697 0.92262463 114.521485 52.862497
    Oben rechts KachelX + 1 26809 KachelY 10695 1.99896871 0.92262463 114.532470 52.862497
    Unten links KachelX 26808 KachelY + 1 10696 1.99877697 0.92250886 114.521485 52.855864
    Unten rechts KachelX + 1 26809 KachelY + 1 10696 1.99896871 0.92250886 114.532470 52.855864
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92262463-0.92250886) × R
    0.00011576999999996 × 6371000     		dl = 737.570669999742m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92262463-0.92250886) × R
    0.00011576999999996 × 6371000     		dr = 737.570669999742m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.99877697-1.99896871) × cos(0.92262463) × R
    0.000191739999999996 × 0.603729912510712 × 6371000     		do = 737.50169388941m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.99877697-1.99896871) × cos(0.92250886) × R
    0.000191739999999996 × 0.603822199027319 × 6371000     		du = 737.614428840769m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92262463)-sin(0.92250886))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.603729912510712-0.603822199027319)×R²
    abs(1.99896871-1.99877697)×9.22865166071984e-05×R²
    0.000191739999999996×9.22865166071984e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.22865166071984e-05×40589641000000     		ar = 544001.194092319m²