Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 268 / 76
↖ ↑ ↗
← N 82.118384°
W 85.781250°		 ← 5 360.55 m → N 82.118384°
W 85.429688°		 →
↑
5 376.87 m
↓
↑
5 376.87 m
↓
N 82.070028°
W 85.781250°		 ← 5 393.23 m →
28 910 836 m²		 N 82.070028°
W 85.429688°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 268 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.26220703125 y=0.07470703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.26220703125 × 210)
    floor (0.26220703125 × 1024)
    floor (268.5)     		tx = 268
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.07470703125 × 210)
    floor (0.07470703125 × 1024)
    floor (76.5)     		ty = 76
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 268 / 76 ti = "10/268/76"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/268/76.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 268 ÷ 210
    268 ÷ 1024     		x = 0.26171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76 ÷ 210
    76 ÷ 1024     		y = 0.07421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.26171875 × 2 - 1) × π
    -0.4765625 × 3.1415926535     		Λ = -1.49716525
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.07421875 × 2 - 1) × π
    0.8515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.67526249399609
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.49716525} λ = -1.49716525}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.67526249399609))-π/2
    2×atan(14.5161597443097)-π/2
    2×1.50201624857039-π/2
    3.00403249714077-1.57079632675     		φ = 1.43323617
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.49716525} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -85.781250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43323617 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.118384°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 268 KachelY 76 -1.49716525 1.43323617 -85.781250 82.118384
    Oben rechts KachelX + 1 269 KachelY 76 -1.49102933 1.43323617 -85.429688 82.118384
    Unten links KachelX 268 KachelY + 1 77 -1.49716525 1.43239221 -85.781250 82.070028
    Unten rechts KachelX + 1 269 KachelY + 1 77 -1.49102933 1.43239221 -85.429688 82.070028
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43323617-1.43239221) × R
    0.000843960000000088 × 6371000     		dl = 5376.86916000056m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43323617-1.43239221) × R
    0.000843960000000088 × 6371000     		dr = 5376.86916000056m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.49716525--1.49102933) × cos(1.43323617) × R
    0.00613591999999996 × 0.137126729932919 × 6371000     		do = 5360.55076557477m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.49716525--1.49102933) × cos(1.43239221) × R
    0.00613591999999996 × 0.13796266854006 × 6371000     		du = 5393.22923273194m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43323617)-sin(1.43239221))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.137126729932919-0.13796266854006)×R²
    abs(-1.49102933--1.49716525)×0.000835938607141207×R²
    0.00613591999999996×0.000835938607141207×6371000²
    0.00613591999999996×0.000835938607141207×40589641000000     		ar = 28910835.7291925m²