Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 268 / 235
↖ ↑ ↗
← N 79.843346°
W132.890625°		 ← 3 446.74 m → N 79.843346°
W132.714844°		 →
↑
3 451.94 m
↓
↑
3 451.94 m
↓
N 79.812302°
W132.890625°		 ← 3 457.16 m →
11 915 912 m²		 N 79.812302°
W132.714844°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 268 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 235 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.131103515625 y=0.114990234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.131103515625 × 211)
    floor (0.131103515625 × 2048)
    floor (268.5)     		tx = 268
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.114990234375 × 211)
    floor (0.114990234375 × 2048)
    floor (235.5)     		ty = 235
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 268 / 235 ti = "11/268/235"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/268/235.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 268 ÷ 211
    268 ÷ 2048     		x = 0.130859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 235 ÷ 211
    235 ÷ 2048     		y = 0.11474609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.130859375 × 2 - 1) × π
    -0.73828125 × 3.1415926535     		Λ = -2.31937895
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.11474609375 × 2 - 1) × π
    0.7705078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.42062168321436
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.31937895} λ = -2.31937895}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.42062168321436))-π/2
    2×atan(11.2528528505055)-π/2
    2×1.4821628036372-π/2
    2.96432560727441-1.57079632675     		φ = 1.39352928
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.31937895} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -132.890625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39352928 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.843346°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 268 KachelY 235 -2.31937895 1.39352928 -132.890625 79.843346
    Oben rechts KachelX + 1 269 KachelY 235 -2.31631099 1.39352928 -132.714844 79.843346
    Unten links KachelX 268 KachelY + 1 236 -2.31937895 1.39298746 -132.890625 79.812302
    Unten rechts KachelX + 1 269 KachelY + 1 236 -2.31631099 1.39298746 -132.714844 79.812302
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39352928-1.39298746) × R
    0.000541820000000026 × 6371000     		dl = 3451.93522000017m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39352928-1.39298746) × R
    0.000541820000000026 × 6371000     		dr = 3451.93522000017m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.31937895--2.31631099) × cos(1.39352928) × R
    0.00306796000000009 × 0.176340109410918 × 6371000     		do = 3446.73904557738m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.31937895--2.31631099) × cos(1.39298746) × R
    0.00306796000000009 × 0.17687341280078 × 6371000     		du = 3457.16297932175m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39352928)-sin(1.39298746))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.176340109410918-0.17687341280078)×R²
    abs(-2.31631099--2.31937895)×0.000533303389861628×R²
    0.00306796000000009×0.000533303389861628×6371000²
    0.00306796000000009×0.000533303389861628×40589641000000     		ar = 11915911.5691048m²