Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 26795 / 11029
↖ ↑ ↗
← N 50.590212°
E114.378662°		 ← 775.57 m → N 50.590212°
E114.389649°		 →
↑
775.61 m
↓
↑
775.61 m
↓
N 50.583237°
E114.378662°		 ← 775.69 m →
601 583 m²		 N 50.583237°
E114.389649°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26795 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11029 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.817733764648438 y=0.336593627929688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.817733764648438 × 215)
    floor (0.817733764648438 × 32768)
    floor (26795.5)     		tx = 26795
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.336593627929688 × 215)
    floor (0.336593627929688 × 32768)
    floor (11029.5)     		ty = 11029
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26795 / 11029 ti = "15/26795/11029"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26795/11029.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26795 ÷ 215
    26795 ÷ 32768     		x = 0.817718505859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11029 ÷ 215
    11029 ÷ 32768     		y = 0.336578369140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.817718505859375 × 2 - 1) × π
    0.63543701171875 × 3.1415926535     		Λ = 1.99628425
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.336578369140625 × 2 - 1) × π
    0.32684326171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.0268083898616
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.99628425} λ = 1.99628425}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0268083898616))-π/2
    2×atan(2.79214017577117)-π/2
    2×1.22688104719985-π/2
    2.4537620943997-1.57079632675     		φ = 0.88296577
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.99628425} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.378662°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88296577 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.590212°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26795 KachelY 11029 1.99628425 0.88296577 114.378662 50.590212
    Oben rechts KachelX + 1 26796 KachelY 11029 1.99647600 0.88296577 114.389649 50.590212
    Unten links KachelX 26795 KachelY + 1 11030 1.99628425 0.88284403 114.378662 50.583237
    Unten rechts KachelX + 1 26796 KachelY + 1 11030 1.99647600 0.88284403 114.389649 50.583237
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88296577-0.88284403) × R
    0.000121739999999981 × 6371000     		dl = 775.605539999881m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88296577-0.88284403) × R
    0.000121739999999981 × 6371000     		dr = 775.605539999881m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.99628425-1.99647600) × cos(0.88296577) × R
    0.000191749999999935 × 0.634862511182343 × 6371000     		do = 775.572962013652m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.99628425-1.99647600) × cos(0.88284403) × R
    0.000191749999999935 × 0.634956565860937 × 6371000     		du = 775.687862900668m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88296577)-sin(0.88284403))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.634862511182343-0.634956565860937)×R²
    abs(1.99647600-1.99628425)×9.40546785939134e-05×R²
    0.000191749999999935×9.40546785939134e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.40546785939134e-05×40589641000000     		ar = 601583.245636829m²