Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26791 / 7618
↖ ↑ ↗
← N 79.747977°
W 32.832642°		 ← 108.72 m → N 79.747977°
W 32.827148°		 →
↑
108.69 m
↓
↑
108.69 m
↓
N 79.747000°
W 32.832642°		 ← 108.73 m →
11 817 m²		 N 79.747000°
W 32.827148°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26791 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7618 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.408805847167969 y=0.116249084472656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.408805847167969 × 216)
    floor (0.408805847167969 × 65536)
    floor (26791.5)     		tx = 26791
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.116249084472656 × 216)
    floor (0.116249084472656 × 65536)
    floor (7618.5)     		ty = 7618
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26791 / 7618 ti = "16/26791/7618"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26791/7618.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26791 ÷ 216
    26791 ÷ 65536     		x = 0.408798217773438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7618 ÷ 216
    7618 ÷ 65536     		y = 0.116241455078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.408798217773438 × 2 - 1) × π
    -0.182403564453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.57303770
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.116241455078125 × 2 - 1) × π
    0.76751708984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.41122605088882
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.57303770} λ = -0.57303770}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.41122605088882))-π/2
    2×atan(11.1476203197339)-π/2
    2×1.48133054802221-π/2
    2.96266109604441-1.57079632675     		φ = 1.39186477
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.57303770} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.832642°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39186477 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.747977°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26791 KachelY 7618 -0.57303770 1.39186477 -32.832642 79.747977
    Oben rechts KachelX + 1 26792 KachelY 7618 -0.57294182 1.39186477 -32.827148 79.747977
    Unten links KachelX 26791 KachelY + 1 7619 -0.57303770 1.39184771 -32.832642 79.747000
    Unten rechts KachelX + 1 26792 KachelY + 1 7619 -0.57294182 1.39184771 -32.827148 79.747000
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39186477-1.39184771) × R
    1.70600000000132e-05 × 6371000     		dl = 108.689260000084m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39186477-1.39184771) × R
    1.70600000000132e-05 × 6371000     		dr = 108.689260000084m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.57303770--0.57294182) × cos(1.39186477) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.177978290329916 × 6371000     		do = 108.718302055828m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.57303770--0.57294182) × cos(1.39184771) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.177995077931121 × 6371000     		du = 108.728556786869m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39186477)-sin(1.39184771))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.177978290329916-0.177995077931121)×R²
    abs(-0.57294182--0.57303770)×1.67876012043544e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.67876012043544e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.67876012043544e-05×40589641000000     		ar = 11817.0690889693m²