Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26790 / 7621
↖ ↑ ↗
← N 79.745043°
W 32.838135°		 ← 108.74 m → N 79.745043°
W 32.832642°		 →
↑
108.75 m
↓
↑
108.75 m
↓
N 79.744065°
W 32.838135°		 ← 108.75 m →
11 826 m²		 N 79.744065°
W 32.832642°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26790 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7621 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.408790588378906 y=0.116294860839844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.408790588378906 × 216)
    floor (0.408790588378906 × 65536)
    floor (26790.5)     		tx = 26790
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.116294860839844 × 216)
    floor (0.116294860839844 × 65536)
    floor (7621.5)     		ty = 7621
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26790 / 7621 ti = "16/26790/7621"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26790/7621.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26790 ÷ 216
    26790 ÷ 65536     		x = 0.408782958984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7621 ÷ 216
    7621 ÷ 65536     		y = 0.116287231445312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.408782958984375 × 2 - 1) × π
    -0.18243408203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.57313357
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.116287231445312 × 2 - 1) × π
    0.767425537109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.4109384294911
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.57313357} λ = -0.57313357}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.4109384294911))-π/2
    2×atan(11.1444144866515)-π/2
    2×1.48130494921736-π/2
    2.96260989843472-1.57079632675     		φ = 1.39181357
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.57313357} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.838135°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39181357 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.745043°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26790 KachelY 7621 -0.57313357 1.39181357 -32.838135 79.745043
    Oben rechts KachelX + 1 26791 KachelY 7621 -0.57303770 1.39181357 -32.832642 79.745043
    Unten links KachelX 26790 KachelY + 1 7622 -0.57313357 1.39179650 -32.838135 79.744065
    Unten rechts KachelX + 1 26791 KachelY + 1 7622 -0.57303770 1.39179650 -32.832642 79.744065
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39181357-1.39179650) × R
    1.70699999999524e-05 × 6371000     		dl = 108.752969999697m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39181357-1.39179650) × R
    1.70699999999524e-05 × 6371000     		dr = 108.752969999697m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.57313357--0.57303770) × cos(1.39181357) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.178028672658617 × 6371000     		do = 108.737735969214m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.57313357--0.57303770) × cos(1.39179650) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.178045469944556 × 6371000     		du = 108.747995546035m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39181357)-sin(1.39179650))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.178028672658617-0.178045469944556)×R²
    abs(-0.57303770--0.57313357)×1.67972859385357e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.67972859385357e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.67972859385357e-05×40589641000000     		ar = 11826.1096177283m²