Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26788 / 11468
↖ ↑ ↗
← N 47.428087°
E114.301758°		 ← 826.46 m → N 47.428087°
E114.312744°		 →
↑
826.51 m
↓
↑
826.51 m
↓
N 47.420654°
E114.301758°		 ← 826.57 m →
683 123 m²		 N 47.420654°
E114.312744°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26788 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11468 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.817520141601562 y=0.349990844726562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.817520141601562 × 215)
    floor (0.817520141601562 × 32768)
    floor (26788.5)     		tx = 26788
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.349990844726562 × 215)
    floor (0.349990844726562 × 32768)
    floor (11468.5)     		ty = 11468
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26788 / 11468 ti = "15/26788/11468"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26788/11468.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26788 ÷ 215
    26788 ÷ 32768     		x = 0.8175048828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11468 ÷ 215
    11468 ÷ 32768     		y = 0.3499755859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8175048828125 × 2 - 1) × π
    0.635009765625 × 3.1415926535     		Λ = 1.99494201
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3499755859375 × 2 - 1) × π
    0.300048828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.942631194128784
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.99494201} λ = 1.99494201}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.942631194128784))-π/2
    2×atan(2.56672609579363)-π/2
    2×1.19928630370838-π/2
    2.39857260741677-1.57079632675     		φ = 0.82777628
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.99494201} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.301758°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82777628 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.428087°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26788 KachelY 11468 1.99494201 0.82777628 114.301758 47.428087
    Oben rechts KachelX + 1 26789 KachelY 11468 1.99513376 0.82777628 114.312744 47.428087
    Unten links KachelX 26788 KachelY + 1 11469 1.99494201 0.82764655 114.301758 47.420654
    Unten rechts KachelX + 1 26789 KachelY + 1 11469 1.99513376 0.82764655 114.312744 47.420654
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82777628-0.82764655) × R
    0.00012973000000005 × 6371000     		dl = 826.509830000319m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82777628-0.82764655) × R
    0.00012973000000005 × 6371000     		dr = 826.509830000319m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.99494201-1.99513376) × cos(0.82777628) × R
    0.000191750000000157 × 0.676515042861209 × 6371000     		do = 826.457329575362m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.99494201-1.99513376) × cos(0.82764655) × R
    0.000191750000000157 × 0.676610574078035 × 6371000     		du = 826.574034259437m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82777628)-sin(0.82764655))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.676515042861209-0.676610574078035)×R²
    abs(1.99513376-1.99494201)×9.55312168260392e-05×R²
    0.000191750000000157×9.55312168260392e-05×6371000²
    0.000191750000000157×9.55312168260392e-05×40589641000000     		ar = 683123.336712377m²