Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26784 / 5475
↖ ↑ ↗
← N 81.644533°
W 32.871093°		 ← 88.76 m → N 81.644533°
W 32.865601°		 →
↑
88.81 m
↓
↑
88.81 m
↓
N 81.643734°
W 32.871093°		 ← 88.76 m →
7 883 m²		 N 81.643734°
W 32.865601°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26784 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5475 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.408699035644531 y=0.0835494995117188 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.408699035644531 × 216)
    floor (0.408699035644531 × 65536)
    floor (26784.5)     		tx = 26784
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0835494995117188 × 216)
    floor (0.0835494995117188 × 65536)
    floor (5475.5)     		ty = 5475
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26784 / 5475 ti = "16/26784/5475"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26784/5475.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26784 ÷ 216
    26784 ÷ 65536     		x = 0.40869140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5475 ÷ 216
    5475 ÷ 65536     		y = 0.0835418701171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.40869140625 × 2 - 1) × π
    -0.1826171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.57370881
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0835418701171875 × 2 - 1) × π
    0.832916259765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.61668360266039
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.57370881} λ = -0.57370881}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.61668360266039))-π/2
    2×atan(13.6902459206076)-π/2
    2×1.49788111635812-π/2
    2.99576223271625-1.57079632675     		φ = 1.42496591
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.57370881} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.871093°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42496591 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.644533°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26784 KachelY 5475 -0.57370881 1.42496591 -32.871093 81.644533
    Oben rechts KachelX + 1 26785 KachelY 5475 -0.57361294 1.42496591 -32.865601 81.644533
    Unten links KachelX 26784 KachelY + 1 5476 -0.57370881 1.42495197 -32.871093 81.643734
    Unten rechts KachelX + 1 26785 KachelY + 1 5476 -0.57361294 1.42495197 -32.865601 81.643734
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42496591-1.42495197) × R
    1.39400000001011e-05 × 6371000     		dl = 88.8117400006441m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42496591-1.42495197) × R
    1.39400000001011e-05 × 6371000     		dr = 88.8117400006441m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.57370881--0.57361294) × cos(1.42496591) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.14531408211856 × 6371000     		do = 88.7560641667899m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.57370881--0.57361294) × cos(1.42495197) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.145327874139366 × 6371000     		du = 88.7644881644223m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42496591)-sin(1.42495197))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.14531408211856-0.145327874139366)×R²
    abs(-0.57361294--0.57370881)×1.37920208068965e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.37920208068965e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.37920208068965e-05×40589641000000     		ar = 7882.95456946516m²