Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26783 / 7594
↖ ↑ ↗
← N 79.771414°
W 32.876587°		 ← 108.47 m → N 79.771414°
W 32.871093°		 →
↑
108.50 m
↓
↑
108.50 m
↓
N 79.770439°
W 32.876587°		 ← 108.48 m →
11 770 m²		 N 79.770439°
W 32.871093°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26783 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7594 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.408683776855469 y=0.115882873535156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.408683776855469 × 216)
    floor (0.408683776855469 × 65536)
    floor (26783.5)     		tx = 26783
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.115882873535156 × 216)
    floor (0.115882873535156 × 65536)
    floor (7594.5)     		ty = 7594
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26783 / 7594 ti = "16/26783/7594"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26783/7594.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26783 ÷ 216
    26783 ÷ 65536     		x = 0.408676147460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7594 ÷ 216
    7594 ÷ 65536     		y = 0.115875244140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.408676147460938 × 2 - 1) × π
    -0.182647705078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.57380469
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.115875244140625 × 2 - 1) × π
    0.76824951171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.41352702207059
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.57380469} λ = -0.57380469}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.41352702207059))-π/2
    2×atan(11.1733002058437)-π/2
    2×1.48153507783671-π/2
    2.96307015567342-1.57079632675     		φ = 1.39227383
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.57380469} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.876587°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39227383 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.771414°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26783 KachelY 7594 -0.57380469 1.39227383 -32.876587 79.771414
    Oben rechts KachelX + 1 26784 KachelY 7594 -0.57370881 1.39227383 -32.871093 79.771414
    Unten links KachelX 26783 KachelY + 1 7595 -0.57380469 1.39225680 -32.876587 79.770439
    Unten rechts KachelX + 1 26784 KachelY + 1 7595 -0.57370881 1.39225680 -32.871093 79.770439
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39227383-1.39225680) × R
    1.70299999999735e-05 × 6371000     		dl = 108.498129999831m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39227383-1.39225680) × R
    1.70299999999735e-05 × 6371000     		dr = 108.498129999831m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.57380469--0.57370881) × cos(1.39227383) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.177575746333142 × 6371000     		do = 108.472407459759m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.57380469--0.57370881) × cos(1.39225680) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.177592505651909 × 6371000     		du = 108.482644914432m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39227383)-sin(1.39225680))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.177575746333142-0.177592505651909)×R²
    abs(-0.57370881--0.57380469)×1.67593187678783e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.67593187678783e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.67593187678783e-05×40589641000000     		ar = 11769.6087382343m²