Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26782 / 5473
↖ ↑ ↗
← N 81.646129°
W 32.882080°		 ← 88.74 m → N 81.646129°
W 32.876587°		 →
↑
88.75 m
↓
↑
88.75 m
↓
N 81.645331°
W 32.882080°		 ← 88.75 m →
7 876 m²		 N 81.645331°
W 32.876587°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26782 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5473 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.408668518066406 y=0.0835189819335938 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.408668518066406 × 216)
    floor (0.408668518066406 × 65536)
    floor (26782.5)     		tx = 26782
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0835189819335938 × 216)
    floor (0.0835189819335938 × 65536)
    floor (5473.5)     		ty = 5473
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26782 / 5473 ti = "16/26782/5473"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26782/5473.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26782 ÷ 216
    26782 ÷ 65536     		x = 0.408660888671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5473 ÷ 216
    5473 ÷ 65536     		y = 0.0835113525390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.408660888671875 × 2 - 1) × π
    -0.18267822265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.57390056
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0835113525390625 × 2 - 1) × π
    0.832977294921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.61687535025887
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.57390056} λ = -0.57390056}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.61687535025887))-π/2
    2×atan(13.6928712440771)-π/2
    2×1.49789504685021-π/2
    2.99579009370042-1.57079632675     		φ = 1.42499377
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.57390056} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.882080°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42499377 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.646129°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26782 KachelY 5473 -0.57390056 1.42499377 -32.882080 81.646129
    Oben rechts KachelX + 1 26783 KachelY 5473 -0.57380469 1.42499377 -32.876587 81.646129
    Unten links KachelX 26782 KachelY + 1 5474 -0.57390056 1.42497984 -32.882080 81.645331
    Unten rechts KachelX + 1 26783 KachelY + 1 5474 -0.57380469 1.42497984 -32.876587 81.645331
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42499377-1.42497984) × R
    1.39299999999398e-05 × 6371000     		dl = 88.7480299996166m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42499377-1.42497984) × R
    1.39299999999398e-05 × 6371000     		dr = 88.7480299996166m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.57390056--0.57380469) × cos(1.42499377) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.145286517780027 × 6371000     		do = 88.7392282059263m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.57390056--0.57380469) × cos(1.42497984) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.145300299963391 × 6371000     		du = 88.7476461949686m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42499377)-sin(1.42497984))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.145286517780027-0.145300299963391)×R²
    abs(-0.57380469--0.57390056)×1.37821833634533e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.37821833634533e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.37821833634533e-05×40589641000000     		ar = 7875.80522669844m²