Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26778 / 7614
↖ ↑ ↗
← N 79.751887°
W 32.904053°		 ← 108.68 m → N 79.751887°
W 32.898559°		 →
↑
108.69 m
↓
↑
108.69 m
↓
N 79.750909°
W 32.904053°		 ← 108.69 m →
11 813 m²		 N 79.750909°
W 32.898559°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26778 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7614 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.408607482910156 y=0.116188049316406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.408607482910156 × 216)
    floor (0.408607482910156 × 65536)
    floor (26778.5)     		tx = 26778
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.116188049316406 × 216)
    floor (0.116188049316406 × 65536)
    floor (7614.5)     		ty = 7614
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26778 / 7614 ti = "16/26778/7614"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26778/7614.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26778 ÷ 216
    26778 ÷ 65536     		x = 0.408599853515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7614 ÷ 216
    7614 ÷ 65536     		y = 0.116180419921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.408599853515625 × 2 - 1) × π
    -0.18280029296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.57428406
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.116180419921875 × 2 - 1) × π
    0.76763916015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.41160954608578
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.57428406} λ = -0.57428406}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.41160954608578))-π/2
    2×atan(11.1518961984212)-π/2
    2×1.48136466849361-π/2
    2.96272933698721-1.57079632675     		φ = 1.39193301
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.57428406} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.904053°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39193301 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.751887°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26778 KachelY 7614 -0.57428406 1.39193301 -32.904053 79.751887
    Oben rechts KachelX + 1 26779 KachelY 7614 -0.57418818 1.39193301 -32.898559 79.751887
    Unten links KachelX 26778 KachelY + 1 7615 -0.57428406 1.39191595 -32.904053 79.750909
    Unten rechts KachelX + 1 26779 KachelY + 1 7615 -0.57418818 1.39191595 -32.898559 79.750909
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39193301-1.39191595) × R
    1.70600000000132e-05 × 6371000     		dl = 108.689260000084m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39193301-1.39191595) × R
    1.70600000000132e-05 × 6371000     		dr = 108.689260000084m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.57428406--0.57418818) × cos(1.39193301) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.177911139407153 × 6371000     		do = 108.677282815275m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.57428406--0.57418818) × cos(1.39191595) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.177927927215526 × 6371000     		du = 108.687537672865m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39193301)-sin(1.39191595))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.177911139407153-0.177927927215526)×R²
    abs(-0.57418818--0.57428406)×1.67878083728035e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.67878083728035e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.67878083728035e-05×40589641000000     		ar = 11812.6107445961m²