Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26775 / 43243
↖ ↑ ↗
← S 49.763526°
W 32.920532°		 ← 394.53 m → S 49.763526°
W 32.915039°		 →
↑
394.56 m
↓
↑
394.56 m
↓
S 49.767074°
W 32.920532°		 ← 394.51 m →
155 660 m²		 S 49.767074°
W 32.915039°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26775 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43243 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.408561706542969 y=0.659843444824219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.408561706542969 × 216)
    floor (0.408561706542969 × 65536)
    floor (26775.5)     		tx = 26775
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.659843444824219 × 216)
    floor (0.659843444824219 × 65536)
    floor (43243.5)     		ty = 43243
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26775 / 43243 ti = "16/26775/43243"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26775/43243.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26775 ÷ 216
    26775 ÷ 65536     		x = 0.408554077148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43243 ÷ 216
    43243 ÷ 65536     		y = 0.659835815429688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.408554077148438 × 2 - 1) × π
    -0.182891845703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.57457168
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.659835815429688 × 2 - 1) × π
    -0.319671630859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.00427804704018
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.57457168} λ = -0.57457168}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.00427804704018))-π/2
    2×atan(0.366308997228675)-π/2
    2×0.351129475981222-π/2
    0.702258951962443-1.57079632675     		φ = -0.86853737
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.57457168} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.920532°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86853737 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.763526°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26775 KachelY 43243 -0.57457168 -0.86853737 -32.920532 -49.763526
    Oben rechts KachelX + 1 26776 KachelY 43243 -0.57447581 -0.86853737 -32.915039 -49.763526
    Unten links KachelX 26775 KachelY + 1 43244 -0.57457168 -0.86859930 -32.920532 -49.767074
    Unten rechts KachelX + 1 26776 KachelY + 1 43244 -0.57447581 -0.86859930 -32.915039 -49.767074
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86853737--0.86859930) × R
    6.19299999999878e-05 × 6371000     		dl = 394.556029999922m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86853737--0.86859930) × R
    6.19299999999878e-05 × 6371000     		dr = 394.556029999922m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.57457168--0.57447581) × cos(-0.86853737) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.645943787540321 × 6371000     		do = 394.534565537098m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.57457168--0.57447581) × cos(-0.86859930) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.645896509870014 × 6371000     		du = 394.50568891428m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86853737)-sin(-0.86859930))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.645943787540321-0.645896509870014)×R²
    abs(-0.57447581--0.57457168)×4.72776703067668e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.72776703067668e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.72776703067668e-05×40589641000000     		ar = 155660.295203076m²