Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26775 / 43146
↖ ↑ ↗
← S 49.418121°
W 32.920532°		 ← 397.34 m → S 49.418121°
W 32.915039°		 →
↑
397.30 m
↓
↑
397.30 m
↓
S 49.421694°
W 32.920532°		 ← 397.31 m →
157 855 m²		 S 49.421694°
W 32.915039°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26775 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43146 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.408561706542969 y=0.658363342285156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.408561706542969 × 216)
    floor (0.408561706542969 × 65536)
    floor (26775.5)     		tx = 26775
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.658363342285156 × 216)
    floor (0.658363342285156 × 65536)
    floor (43146.5)     		ty = 43146
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26775 / 43146 ti = "16/26775/43146"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26775/43146.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26775 ÷ 216
    26775 ÷ 65536     		x = 0.408554077148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43146 ÷ 216
    43146 ÷ 65536     		y = 0.658355712890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.408554077148438 × 2 - 1) × π
    -0.182891845703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.57457168
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.658355712890625 × 2 - 1) × π
    -0.31671142578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.994978288513885
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.57457168} λ = -0.57457168}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.994978288513885))-π/2
    2×atan(0.369731471876634)-π/2
    2×0.3541437052194-π/2
    0.708287410438801-1.57079632675     		φ = -0.86250892
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.57457168} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.920532°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86250892 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.418121°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26775 KachelY 43146 -0.57457168 -0.86250892 -32.920532 -49.418121
    Oben rechts KachelX + 1 26776 KachelY 43146 -0.57447581 -0.86250892 -32.915039 -49.418121
    Unten links KachelX 26775 KachelY + 1 43147 -0.57457168 -0.86257128 -32.920532 -49.421694
    Unten rechts KachelX + 1 26776 KachelY + 1 43147 -0.57447581 -0.86257128 -32.915039 -49.421694
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86250892--0.86257128) × R
    6.23600000000391e-05 × 6371000     		dl = 397.295560000249m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86250892--0.86257128) × R
    6.23600000000391e-05 × 6371000     		dr = 397.295560000249m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.57457168--0.57447581) × cos(-0.86250892) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.650534050354578 × 6371000     		do = 397.338241925132m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.57457168--0.57447581) × cos(-0.86257128) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.650486688098425 × 6371000     		du = 397.309313638314m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86250892)-sin(-0.86257128))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.650534050354578-0.650486688098425)×R²
    abs(-0.57447581--0.57457168)×4.7362256153094e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.7362256153094e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.7362256153094e-05×40589641000000     		ar = 157854.972846372m²