Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26771 / 42871
↖ ↑ ↗
← S 48.425555°
W 32.942505°		 ← 405.31 m → S 48.425555°
W 32.937012°		 →
↑
405.32 m
↓
↑
405.32 m
↓
S 48.429200°
W 32.942505°		 ← 405.29 m →
164 277 m²		 S 48.429200°
W 32.937012°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26771 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42871 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.408500671386719 y=0.654167175292969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.408500671386719 × 216)
    floor (0.408500671386719 × 65536)
    floor (26771.5)     		tx = 26771
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.654167175292969 × 216)
    floor (0.654167175292969 × 65536)
    floor (42871.5)     		ty = 42871
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26771 / 42871 ti = "16/26771/42871"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26771/42871.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26771 ÷ 216
    26771 ÷ 65536     		x = 0.408493041992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42871 ÷ 216
    42871 ÷ 65536     		y = 0.654159545898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.408493041992188 × 2 - 1) × π
    -0.183013916015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.57495517
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.654159545898438 × 2 - 1) × π
    -0.308319091796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.968612993722855
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.57495517} λ = -0.57495517}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.968612993722855))-π/2
    2×atan(0.37960919346285)-π/2
    2×0.362805470936466-π/2
    0.725610941872933-1.57079632675     		φ = -0.84518538
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.57495517} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.942505°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84518538 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.425555°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26771 KachelY 42871 -0.57495517 -0.84518538 -32.942505 -48.425555
    Oben rechts KachelX + 1 26772 KachelY 42871 -0.57485930 -0.84518538 -32.937012 -48.425555
    Unten links KachelX 26771 KachelY + 1 42872 -0.57495517 -0.84524900 -32.942505 -48.429200
    Unten rechts KachelX + 1 26772 KachelY + 1 42872 -0.57485930 -0.84524900 -32.937012 -48.429200
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84518538--0.84524900) × R
    6.3620000000042e-05 × 6371000     		dl = 405.323020000267m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84518538--0.84524900) × R
    6.3620000000042e-05 × 6371000     		dr = 405.323020000267m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.57495517--0.57485930) × cos(-0.84518538) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.663592612198101 × 6371000     		do = 405.314251792944m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.57495517--0.57485930) × cos(-0.84524900) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.663545017105883 × 6371000     		du = 405.285181292705m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84518538)-sin(-0.84524900))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.663592612198101-0.663545017105883)×R²
    abs(-0.57485930--0.57495517)×4.75950922179669e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.75950922179669e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.75950922179669e-05×40589641000000     		ar = 164277.305169618m²