Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26771 / 42859
↖ ↑ ↗
← S 48.381794°
W 32.942505°		 ← 405.66 m → S 48.381794°
W 32.937012°		 →
↑
405.71 m
↓
↑
405.71 m
↓
S 48.385442°
W 32.942505°		 ← 405.63 m →
164 574 m²		 S 48.385442°
W 32.937012°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26771 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42859 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.408500671386719 y=0.653984069824219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.408500671386719 × 216)
    floor (0.408500671386719 × 65536)
    floor (26771.5)     		tx = 26771
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.653984069824219 × 216)
    floor (0.653984069824219 × 65536)
    floor (42859.5)     		ty = 42859
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26771 / 42859 ti = "16/26771/42859"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26771/42859.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26771 ÷ 216
    26771 ÷ 65536     		x = 0.408493041992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42859 ÷ 216
    42859 ÷ 65536     		y = 0.653976440429688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.408493041992188 × 2 - 1) × π
    -0.183013916015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.57495517
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.653976440429688 × 2 - 1) × π
    -0.307952880859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.967462508131973
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.57495517} λ = -0.57495517}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.967462508131973))-π/2
    2×atan(0.380046179695077)-π/2
    2×0.363187362084363-π/2
    0.726374724168726-1.57079632675     		φ = -0.84442160
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.57495517} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.942505°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84442160 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.381794°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26771 KachelY 42859 -0.57495517 -0.84442160 -32.942505 -48.381794
    Oben rechts KachelX + 1 26772 KachelY 42859 -0.57485930 -0.84442160 -32.937012 -48.381794
    Unten links KachelX 26771 KachelY + 1 42860 -0.57495517 -0.84448528 -32.942505 -48.385442
    Unten rechts KachelX + 1 26772 KachelY + 1 42860 -0.57485930 -0.84448528 -32.937012 -48.385442
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84442160--0.84448528) × R
    6.36800000000104e-05 × 6371000     		dl = 405.705280000066m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84442160--0.84448528) × R
    6.36800000000104e-05 × 6371000     		dr = 405.705280000066m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.57495517--0.57485930) × cos(-0.84442160) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.664163797929546 × 6371000     		do = 405.663125052109m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.57495517--0.57485930) × cos(-0.84448528) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.664116190237372 × 6371000     		du = 405.634046855971m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84442160)-sin(-0.84448528))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.664163797929546-0.664116190237372)×R²
    abs(-0.57485930--0.57495517)×4.76076921740454e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.76076921740454e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.76076921740454e-05×40589641000000     		ar = 164573.77320181m²