Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26770 / 10897
↖ ↑ ↗
← N 51.501904°
E114.104004°		 ← 760.46 m → N 51.501904°
E114.114990°		 →
↑
760.51 m
↓
↑
760.51 m
↓
N 51.495065°
E114.104004°		 ← 760.57 m →
578 375 m²		 N 51.495065°
E114.114990°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26770 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10897 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.816970825195312 y=0.332565307617188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.816970825195312 × 215)
    floor (0.816970825195312 × 32768)
    floor (26770.5)     		tx = 26770
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.332565307617188 × 215)
    floor (0.332565307617188 × 32768)
    floor (10897.5)     		ty = 10897
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26770 / 10897 ti = "15/26770/10897"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26770/10897.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26770 ÷ 215
    26770 ÷ 32768     		x = 0.81695556640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10897 ÷ 215
    10897 ÷ 32768     		y = 0.332550048828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.81695556640625 × 2 - 1) × π
    0.6339111328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.99149056
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.332550048828125 × 2 - 1) × π
    0.33489990234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.05211907286099
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.99149056} λ = 1.99149056}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05211907286099))-π/2
    2×atan(2.86371310962611)-π/2
    2×1.23483706225025-π/2
    2.46967412450051-1.57079632675     		φ = 0.89887780
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.99149056} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.104004°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89887780 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.501904°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26770 KachelY 10897 1.99149056 0.89887780 114.104004 51.501904
    Oben rechts KachelX + 1 26771 KachelY 10897 1.99168231 0.89887780 114.114990 51.501904
    Unten links KachelX 26770 KachelY + 1 10898 1.99149056 0.89875843 114.104004 51.495065
    Unten rechts KachelX + 1 26771 KachelY + 1 10898 1.99168231 0.89875843 114.114990 51.495065
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89887780-0.89875843) × R
    0.000119369999999952 × 6371000     		dl = 760.506269999694m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89887780-0.89875843) × R
    0.000119369999999952 × 6371000     		dr = 760.506269999694m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.99149056-1.99168231) × cos(0.89887780) × R
    0.000191750000000157 × 0.622488626137264 × 6371000     		do = 760.45653836848m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.99149056-1.99168231) × cos(0.89875843) × R
    0.000191750000000157 × 0.622582044107387 × 6371000     		du = 760.570661427438m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89887780)-sin(0.89875843))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.622488626137264-0.622582044107387)×R²
    abs(1.99168231-1.99149056)×9.34179701237436e-05×R²
    0.000191750000000157×9.34179701237436e-05×6371000²
    0.000191750000000157×9.34179701237436e-05×40589641000000     		ar = 578375.36182918m²