Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26769 / 42870
↖ ↑ ↗
← S 48.421910°
W 32.953491°		 ← 405.34 m → S 48.421910°
W 32.947998°		 →
↑
405.32 m
↓
↑
405.32 m
↓
S 48.425555°
W 32.953491°		 ← 405.31 m →
164 289 m²		 S 48.425555°
W 32.947998°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26769 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42870 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.408470153808594 y=0.654151916503906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.408470153808594 × 216)
    floor (0.408470153808594 × 65536)
    floor (26769.5)     		tx = 26769
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.654151916503906 × 216)
    floor (0.654151916503906 × 65536)
    floor (42870.5)     		ty = 42870
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26769 / 42870 ti = "16/26769/42870"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26769/42870.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26769 ÷ 216
    26769 ÷ 65536     		x = 0.408462524414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42870 ÷ 216
    42870 ÷ 65536     		y = 0.654144287109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.408462524414062 × 2 - 1) × π
    -0.183074951171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.57514692
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.654144287109375 × 2 - 1) × π
    -0.30828857421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.968517119923615
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.57514692} λ = -0.57514692}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.968517119923615))-π/2
    2×atan(0.379645589783152)-π/2
    2×0.362837282649504-π/2
    0.725674565299008-1.57079632675     		φ = -0.84512176
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.57514692} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.953491°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84512176 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.421910°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26769 KachelY 42870 -0.57514692 -0.84512176 -32.953491 -48.421910
    Oben rechts KachelX + 1 26770 KachelY 42870 -0.57505105 -0.84512176 -32.947998 -48.421910
    Unten links KachelX 26769 KachelY + 1 42871 -0.57514692 -0.84518538 -32.953491 -48.425555
    Unten rechts KachelX + 1 26770 KachelY + 1 42871 -0.57505105 -0.84518538 -32.947998 -48.425555
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84512176--0.84518538) × R
    6.3619999999931e-05 × 6371000     		dl = 405.32301999956m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84512176--0.84518538) × R
    6.3619999999931e-05 × 6371000     		dr = 405.32301999956m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.57514692--0.57505105) × cos(-0.84512176) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.663640204604425 × 6371000     		do = 405.343320652671m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.57514692--0.57505105) × cos(-0.84518538) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.663592612198101 × 6371000     		du = 405.314251792944m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84512176)-sin(-0.84518538))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.663640204604425-0.663592612198101)×R²
    abs(-0.57505105--0.57514692)×4.75924063239042e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.75924063239042e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.75924063239042e-05×40589641000000     		ar = 164289.087780236m²