Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26767 / 42868
↖ ↑ ↗
← S 48.414619°
W 32.964478°		 ← 405.40 m → S 48.414619°
W 32.958985°		 →
↑
405.39 m
↓
↑
405.39 m
↓
S 48.418264°
W 32.964478°		 ← 405.37 m →
164 338 m²		 S 48.418264°
W 32.958985°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26767 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42868 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.408439636230469 y=0.654121398925781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.408439636230469 × 216)
    floor (0.408439636230469 × 65536)
    floor (26767.5)     		tx = 26767
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.654121398925781 × 216)
    floor (0.654121398925781 × 65536)
    floor (42868.5)     		ty = 42868
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26767 / 42868 ti = "16/26767/42868"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26767/42868.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26767 ÷ 216
    26767 ÷ 65536     		x = 0.408432006835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42868 ÷ 216
    42868 ÷ 65536     		y = 0.65411376953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.408432006835938 × 2 - 1) × π
    -0.183135986328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.57533867
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65411376953125 × 2 - 1) × π
    -0.3082275390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.968325372325134
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.57533867} λ = -0.57533867}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.968325372325134))-π/2
    2×atan(0.379718392892955)-π/2
    2×0.362900912920333-π/2
    0.725801825840665-1.57079632675     		φ = -0.84499450
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.57533867} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.964478°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84499450 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.414619°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26767 KachelY 42868 -0.57533867 -0.84499450 -32.964478 -48.414619
    Oben rechts KachelX + 1 26768 KachelY 42868 -0.57524280 -0.84499450 -32.958985 -48.414619
    Unten links KachelX 26767 KachelY + 1 42869 -0.57533867 -0.84505813 -32.964478 -48.418264
    Unten rechts KachelX + 1 26768 KachelY + 1 42869 -0.57524280 -0.84505813 -32.958985 -48.418264
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84499450--0.84505813) × R
    6.36299999999812e-05 × 6371000     		dl = 405.38672999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84499450--0.84505813) × R
    6.36299999999812e-05 × 6371000     		dr = 405.38672999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.57533867--0.57524280) × cos(-0.84499450) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.66373539631797 × 6371000     		do = 405.40146258711m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.57533867--0.57524280) × cos(-0.84505813) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.663687801804759 × 6371000     		du = 405.372392440522m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84499450)-sin(-0.84505813))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.66373539631797-0.663687801804759)×R²
    abs(-0.57524280--0.57533867)×4.75945132104583e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.75945132104583e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.75945132104583e-05×40589641000000     		ar = 164338.480984931m²