Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26766 / 25241
↖ ↑ ↗
← S 69.260040°
E114.060059°		 ← 432.62 m → S 69.260040°
E114.071045°		 →
↑
432.59 m
↓
↑
432.59 m
↓
S 69.263930°
E114.060059°		 ← 432.54 m →
187 129 m²		 S 69.263930°
E114.071045°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26766 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25241 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.816848754882812 y=0.770309448242188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.816848754882812 × 215)
    floor (0.816848754882812 × 32768)
    floor (26766.5)     		tx = 26766
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.770309448242188 × 215)
    floor (0.770309448242188 × 32768)
    floor (25241.5)     		ty = 25241
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26766 / 25241 ti = "15/26766/25241"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26766/25241.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26766 ÷ 215
    26766 ÷ 32768     		x = 0.81683349609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25241 ÷ 215
    25241 ÷ 32768     		y = 0.770294189453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.81683349609375 × 2 - 1) × π
    0.6336669921875 × 3.1415926535     		Λ = 1.99072357
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.770294189453125 × 2 - 1) × π
    -0.54058837890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.69830847973935
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.99072357} λ = 1.99072357}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.69830847973935))-π/2
    2×atan(0.182992798433155)-π/2
    2×0.180990293173813-π/2
    0.361980586347626-1.57079632675     		φ = -1.20881574
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.99072357} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.060059°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20881574 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.260040°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26766 KachelY 25241 1.99072357 -1.20881574 114.060059 -69.260040
    Oben rechts KachelX + 1 26767 KachelY 25241 1.99091532 -1.20881574 114.071045 -69.260040
    Unten links KachelX 26766 KachelY + 1 25242 1.99072357 -1.20888364 114.060059 -69.263930
    Unten rechts KachelX + 1 26767 KachelY + 1 25242 1.99091532 -1.20888364 114.071045 -69.263930
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20881574--1.20888364) × R
    6.79000000001206e-05 × 6371000     		dl = 432.590900000769m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20881574--1.20888364) × R
    6.79000000001206e-05 × 6371000     		dr = 432.590900000769m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.99072357-1.99091532) × cos(-1.20881574) × R
    0.000191749999999935 × 0.354127166016498 × 6371000     		do = 432.615645496873m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.99072357-1.99091532) × cos(-1.20888364) × R
    0.000191749999999935 × 0.35406366530498 × 6371000     		du = 432.53807053528m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20881574)-sin(-1.20888364))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.354127166016498-0.35406366530498)×R²
    abs(1.99091532-1.99072357)×6.35007115180608e-05×R²
    0.000191749999999935×6.35007115180608e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.35007115180608e-05×40589641000000     		ar = 187128.812401134m²