Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26764 / 43110
↖ ↑ ↗
← S 49.289306°
W 32.980957°		 ← 398.38 m → S 49.289306°
W 32.975464°		 →
↑
398.38 m
↓
↑
398.38 m
↓
S 49.292889°
W 32.980957°		 ← 398.35 m →
158 700 m²		 S 49.292889°
W 32.975464°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26764 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43110 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.408393859863281 y=0.657814025878906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.408393859863281 × 216)
    floor (0.408393859863281 × 65536)
    floor (26764.5)     		tx = 26764
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.657814025878906 × 216)
    floor (0.657814025878906 × 65536)
    floor (43110.5)     		ty = 43110
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26764 / 43110 ti = "16/26764/43110"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26764/43110.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26764 ÷ 216
    26764 ÷ 65536     		x = 0.40838623046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43110 ÷ 216
    43110 ÷ 65536     		y = 0.657806396484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.40838623046875 × 2 - 1) × π
    -0.1832275390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.57562629
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.657806396484375 × 2 - 1) × π
    -0.31561279296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.991526831741241
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.57562629} λ = -0.57562629}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.991526831741241))-π/2
    2×atan(0.371009788828151)-π/2
    2×0.355267822037365-π/2
    0.71053564407473-1.57079632675     		φ = -0.86026068
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.57562629} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.980957°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86026068 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.289306°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26764 KachelY 43110 -0.57562629 -0.86026068 -32.980957 -49.289306
    Oben rechts KachelX + 1 26765 KachelY 43110 -0.57553042 -0.86026068 -32.975464 -49.289306
    Unten links KachelX 26764 KachelY + 1 43111 -0.57562629 -0.86032321 -32.980957 -49.292889
    Unten rechts KachelX + 1 26765 KachelY + 1 43111 -0.57553042 -0.86032321 -32.975464 -49.292889
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86026068--0.86032321) × R
    6.25300000000051e-05 × 6371000     		dl = 398.378630000032m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86026068--0.86032321) × R
    6.25300000000051e-05 × 6371000     		dr = 398.378630000032m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.57562629--0.57553042) × cos(-0.86026068) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.652239891599106 × 6371000     		do = 398.380148894851m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.57562629--0.57553042) × cos(-0.86032321) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.65219249179522 × 6371000     		du = 398.351197674337m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86026068)-sin(-0.86032321))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.652239891599106-0.65219249179522)×R²
    abs(-0.57553042--0.57562629)×4.73998038857948e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.73998038857948e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.73998038857948e-05×40589641000000     		ar = 158700.371213807m²