Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26763 / 25234
↖ ↑ ↗
← S 69.232789°
E114.027099°		 ← 433.16 m → S 69.232789°
E114.038086°		 →
↑
433.10 m
↓
↑
433.10 m
↓
S 69.236684°
E114.027099°		 ← 433.08 m →
187 585 m²		 S 69.236684°
E114.038086°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26763 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25234 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.816757202148438 y=0.770095825195312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.816757202148438 × 215)
    floor (0.816757202148438 × 32768)
    floor (26763.5)     		tx = 26763
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.770095825195312 × 215)
    floor (0.770095825195312 × 32768)
    floor (25234.5)     		ty = 25234
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26763 / 25234 ti = "15/26763/25234"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26763/25234.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26763 ÷ 215
    26763 ÷ 32768     		x = 0.816741943359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25234 ÷ 215
    25234 ÷ 32768     		y = 0.77008056640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.816741943359375 × 2 - 1) × π
    0.63348388671875 × 3.1415926535     		Λ = 1.99014832
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77008056640625 × 2 - 1) × π
    -0.5401611328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.69696624654999
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.99014832} λ = 1.99014832}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.69696624654999))-π/2
    2×atan(0.183238582353393)-π/2
    2×0.181228103006823-π/2
    0.362456206013645-1.57079632675     		φ = -1.20834012
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.99014832} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.027099°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20834012 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.232789°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26763 KachelY 25234 1.99014832 -1.20834012 114.027099 -69.232789
    Oben rechts KachelX + 1 26764 KachelY 25234 1.99034007 -1.20834012 114.038086 -69.232789
    Unten links KachelX 26763 KachelY + 1 25235 1.99014832 -1.20840810 114.027099 -69.236684
    Unten rechts KachelX + 1 26764 KachelY + 1 25235 1.99034007 -1.20840810 114.038086 -69.236684
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20834012--1.20840810) × R
    6.79800000000785e-05 × 6371000     		dl = 433.1005800005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20834012--1.20840810) × R
    6.79800000000785e-05 × 6371000     		dr = 433.1005800005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.99014832-1.99034007) × cos(-1.20834012) × R
    0.000191749999999935 × 0.354571924475146 × 6371000     		do = 433.158979886727m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.99014832-1.99034007) × cos(-1.20840810) × R
    0.000191749999999935 × 0.354508360401952 × 6371000     		du = 433.081327520024m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20834012)-sin(-1.20840810))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.354571924475146-0.354508360401952)×R²
    abs(1.99034007-1.99014832)×6.35640731934117e-05×R²
    0.000191749999999935×6.35640731934117e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.35640731934117e-05×40589641000000     		ar = 187584.589850559m²