Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26762 / 25247
↖ ↑ ↗
← S 69.283371°
E114.016113°		 ← 432.13 m → S 69.283371°
E114.027099°		 →
↑
432.08 m
↓
↑
432.08 m
↓
S 69.287257°
E114.016113°		 ← 432.05 m →
186 698 m²		 S 69.287257°
E114.027099°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26762 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25247 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.816726684570312 y=0.770492553710938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.816726684570312 × 215)
    floor (0.816726684570312 × 32768)
    floor (26762.5)     		tx = 26762
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.770492553710938 × 215)
    floor (0.770492553710938 × 32768)
    floor (25247.5)     		ty = 25247
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26762 / 25247 ti = "15/26762/25247"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26762/25247.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26762 ÷ 215
    26762 ÷ 32768     		x = 0.81671142578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25247 ÷ 215
    25247 ÷ 32768     		y = 0.770477294921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.81671142578125 × 2 - 1) × π
    0.6334228515625 × 3.1415926535     		Λ = 1.98995658
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.770477294921875 × 2 - 1) × π
    -0.54095458984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.69945896533023
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.98995658} λ = 1.98995658}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.69945896533023))-π/2
    2×atan(0.18278238891509)-π/2
    2×0.180786693627936-π/2
    0.361573387255872-1.57079632675     		φ = -1.20922294
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.98995658} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.016113°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20922294 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.283371°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26762 KachelY 25247 1.98995658 -1.20922294 114.016113 -69.283371
    Oben rechts KachelX + 1 26763 KachelY 25247 1.99014832 -1.20922294 114.027099 -69.283371
    Unten links KachelX 26762 KachelY + 1 25248 1.98995658 -1.20929076 114.016113 -69.287257
    Unten rechts KachelX + 1 26763 KachelY + 1 25248 1.99014832 -1.20929076 114.027099 -69.287257
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20922294--1.20929076) × R
    6.78199999999407e-05 × 6371000     		dl = 432.081219999622m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20922294--1.20929076) × R
    6.78199999999407e-05 × 6371000     		dr = 432.081219999622m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.98995658-1.99014832) × cos(-1.20922294) × R
    0.000191739999999996 × 0.353746324335853 × 6371000     		do = 432.127857173575m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.98995658-1.99014832) × cos(-1.20929076) × R
    0.000191739999999996 × 0.353682888668491 × 6371000     		du = 432.050365713962m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20922294)-sin(-1.20929076))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.353746324335853-0.353682888668491)×R²
    abs(1.99014832-1.98995658)×6.34356673622771e-05×R²
    0.000191739999999996×6.34356673622771e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.34356673622771e-05×40589641000000     		ar = 186697.590492151m²