Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26762 / 25238
↖ ↑ ↗
← S 69.248366°
E114.016113°		 ← 432.83 m → S 69.248366°
E114.027099°		 →
↑
432.78 m
↓
↑
432.78 m
↓
S 69.252258°
E114.016113°		 ← 432.75 m →
187 302 m²		 S 69.252258°
E114.027099°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26762 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25238 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.816726684570312 y=0.770217895507812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.816726684570312 × 215)
    floor (0.816726684570312 × 32768)
    floor (26762.5)     		tx = 26762
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.770217895507812 × 215)
    floor (0.770217895507812 × 32768)
    floor (25238.5)     		ty = 25238
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26762 / 25238 ti = "15/26762/25238"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26762/25238.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26762 ÷ 215
    26762 ÷ 32768     		x = 0.81671142578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25238 ÷ 215
    25238 ÷ 32768     		y = 0.77020263671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.81671142578125 × 2 - 1) × π
    0.6334228515625 × 3.1415926535     		Λ = 1.98995658
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77020263671875 × 2 - 1) × π
    -0.5404052734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.69773323694391
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.98995658} λ = 1.98995658}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.69773323694391))-π/2
    2×atan(0.183098094004427)-π/2
    2×0.181092175125479-π/2
    0.362184350250957-1.57079632675     		φ = -1.20861198
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.98995658} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.016113°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20861198 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.248366°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26762 KachelY 25238 1.98995658 -1.20861198 114.016113 -69.248366
    Oben rechts KachelX + 1 26763 KachelY 25238 1.99014832 -1.20861198 114.027099 -69.248366
    Unten links KachelX 26762 KachelY + 1 25239 1.98995658 -1.20867991 114.016113 -69.252258
    Unten rechts KachelX + 1 26763 KachelY + 1 25239 1.99014832 -1.20867991 114.027099 -69.252258
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20861198--1.20867991) × R
    6.79300000001604e-05 × 6371000     		dl = 432.782030001022m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20861198--1.20867991) × R
    6.79300000001604e-05 × 6371000     		dr = 432.782030001022m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.98995658-1.99014832) × cos(-1.20861198) × R
    0.000191739999999996 × 0.354317714461359 × 6371000     		do = 432.825853374691m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.98995658-1.99014832) × cos(-1.20867991) × R
    0.000191739999999996 × 0.354254190595702 × 6371000     		du = 432.748254174198m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20861198)-sin(-1.20867991))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.354317714461359-0.354254190595702)×R²
    abs(1.99014832-1.98995658)×6.35238656571113e-05×R²
    0.000191739999999996×6.35238656571113e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.35238656571113e-05×40589641000000     		ar = 187302.459763044m²