Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 26761 / 25235
↖ ↑ ↗
← S 69.236684°
E114.005127°		 ← 433.08 m → S 69.236684°
E114.016113°		 →
↑
433.04 m
↓
↑
433.04 m
↓
S 69.240578°
E114.005127°		 ← 433 m →
187 523 m²		 S 69.240578°
E114.016113°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26761 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25235 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.816696166992188 y=0.770126342773438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.816696166992188 × 215)
    floor (0.816696166992188 × 32768)
    floor (26761.5)     		tx = 26761
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.770126342773438 × 215)
    floor (0.770126342773438 × 32768)
    floor (25235.5)     		ty = 25235
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26761 / 25235 ti = "15/26761/25235"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26761/25235.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26761 ÷ 215
    26761 ÷ 32768     		x = 0.816680908203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25235 ÷ 215
    25235 ÷ 32768     		y = 0.770111083984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.816680908203125 × 2 - 1) × π
    0.63336181640625 × 3.1415926535     		Λ = 1.98976483
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.770111083984375 × 2 - 1) × π
    -0.54022216796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.69715799414847
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.98976483} λ = 1.98976483}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.69715799414847))-π/2
    2×atan(0.183203450163642)-π/2
    2×0.181194111896631-π/2
    0.362388223793263-1.57079632675     		φ = -1.20840810
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.98976483} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.005127°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20840810 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.236684°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26761 KachelY 25235 1.98976483 -1.20840810 114.005127 -69.236684
    Oben rechts KachelX + 1 26762 KachelY 25235 1.98995658 -1.20840810 114.016113 -69.236684
    Unten links KachelX 26761 KachelY + 1 25236 1.98976483 -1.20847607 114.005127 -69.240578
    Unten rechts KachelX + 1 26762 KachelY + 1 25236 1.98995658 -1.20847607 114.016113 -69.240578
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20840810--1.20847607) × R
    6.79699999999173e-05 × 6371000     		dl = 433.036869999473m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20840810--1.20847607) × R
    6.79699999999173e-05 × 6371000     		dr = 433.036869999473m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.98976483-1.98995658) × cos(-1.20840810) × R
    0.000191750000000157 × 0.354508360401952 × 6371000     		do = 433.081327520526m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.98976483-1.98995658) × cos(-1.20847607) × R
    0.000191750000000157 × 0.354444804041246 × 6371000     		du = 433.003684575699m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20840810)-sin(-1.20847607))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.354508360401952-0.354444804041246)×R²
    abs(1.98995658-1.98976483)×6.35563607063738e-05×R²
    0.000191750000000157×6.35563607063738e-05×6371000²
    0.000191750000000157×6.35563607063738e-05×40589641000000     		ar = 187523.371468588m²