Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26760 / 7608
↖ ↑ ↗
← N 79.757749°
W 33.002930°		 ← 108.62 m → N 79.757749°
W 32.997436°		 →
↑
108.56 m
↓
↑
108.56 m
↓
N 79.756772°
W 33.002930°		 ← 108.63 m →
11 792 m²		 N 79.756772°
W 32.997436°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26760 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7608 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.408332824707031 y=0.116096496582031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.408332824707031 × 216)
    floor (0.408332824707031 × 65536)
    floor (26760.5)     		tx = 26760
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.116096496582031 × 216)
    floor (0.116096496582031 × 65536)
    floor (7608.5)     		ty = 7608
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26760 / 7608 ti = "16/26760/7608"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26760/7608.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26760 ÷ 216
    26760 ÷ 65536     		x = 0.4083251953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7608 ÷ 216
    7608 ÷ 65536     		y = 0.1160888671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4083251953125 × 2 - 1) × π
    -0.183349609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.57600979
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1160888671875 × 2 - 1) × π
    0.767822265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.41218478888123
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.57600979} λ = -0.57600979}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.41218478888123))-π/2
    2×atan(11.1583130918237)-π/2
    2×1.48141582506369-π/2
    2.96283165012739-1.57079632675     		φ = 1.39203532
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.57600979} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.002930°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39203532 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.757749°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26760 KachelY 7608 -0.57600979 1.39203532 -33.002930 79.757749
    Oben rechts KachelX + 1 26761 KachelY 7608 -0.57591391 1.39203532 -32.997436 79.757749
    Unten links KachelX 26760 KachelY + 1 7609 -0.57600979 1.39201828 -33.002930 79.756772
    Unten rechts KachelX + 1 26761 KachelY + 1 7609 -0.57591391 1.39201828 -32.997436 79.756772
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39203532-1.39201828) × R
    1.70399999999127e-05 × 6371000     		dl = 108.561839999444m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39203532-1.39201828) × R
    1.70399999999127e-05 × 6371000     		dr = 108.561839999444m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.57600979--0.57591391) × cos(1.39203532) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.177810460672948 × 6371000     		do = 108.615783061481m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.57600979--0.57591391) × cos(1.39201828) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.17782722911054 × 6371000     		du = 108.626026086401m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39203532)-sin(1.39201828))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.177810460672948-0.17782722911054)×R²
    abs(-0.57591391--0.57600979)×1.67684375926846e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.67684375926846e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.67684375926846e-05×40589641000000     		ar = 11792.0852630631m²