Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26759 / 7592
↖ ↑ ↗
← N 79.773365°
W 33.008423°		 ← 108.44 m → N 79.773365°
W 33.002930°		 →
↑
108.50 m
↓
↑
108.50 m
↓
N 79.772390°
W 33.008423°		 ← 108.45 m →
11 766 m²		 N 79.772390°
W 33.002930°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26759 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7592 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.408317565917969 y=0.115852355957031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.408317565917969 × 216)
    floor (0.408317565917969 × 65536)
    floor (26759.5)     		tx = 26759
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.115852355957031 × 216)
    floor (0.115852355957031 × 65536)
    floor (7592.5)     		ty = 7592
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26759 / 7592 ti = "16/26759/7592"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26759/7592.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26759 ÷ 216
    26759 ÷ 65536     		x = 0.408309936523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7592 ÷ 216
    7592 ÷ 65536     		y = 0.1158447265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.408309936523438 × 2 - 1) × π
    -0.183380126953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.57610566
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1158447265625 × 2 - 1) × π
    0.768310546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.41371876966907
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.57610566} λ = -0.57610566}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.41371876966907))-π/2
    2×atan(11.1754428647436)-π/2
    2×1.48155210109207-π/2
    2.96310420218414-1.57079632675     		φ = 1.39230788
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.57610566} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.008423°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39230788 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.773365°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26759 KachelY 7592 -0.57610566 1.39230788 -33.008423 79.773365
    Oben rechts KachelX + 1 26760 KachelY 7592 -0.57600979 1.39230788 -33.002930 79.773365
    Unten links KachelX 26759 KachelY + 1 7593 -0.57610566 1.39229085 -33.008423 79.772390
    Unten rechts KachelX + 1 26760 KachelY + 1 7593 -0.57600979 1.39229085 -33.002930 79.772390
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39230788-1.39229085) × R
    1.70299999999735e-05 × 6371000     		dl = 108.498129999831m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39230788-1.39229085) × R
    1.70299999999735e-05 × 6371000     		dr = 108.498129999831m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.57610566--0.57600979) × cos(1.39230788) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.17754223738224 × 6371000     		do = 108.440627251507m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.57610566--0.57600979) × cos(1.39229085) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.177558996803974 × 6371000     		du = 108.450863701334m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39230788)-sin(1.39229085))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.17754223738224-0.177558996803974)×R²
    abs(-0.57600979--0.57610566)×1.67594217341249e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.67594217341249e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.67594217341249e-05×40589641000000     		ar = 11766.1605906925m²