Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26756 / 25228
↖ ↑ ↗
← S 69.209404°
E113.950195°		 ← 433.63 m → S 69.209404°
E113.961182°		 →
↑
433.61 m
↓
↑
433.61 m
↓
S 69.213303°
E113.950195°		 ← 433.55 m →
188 007 m²		 S 69.213303°
E113.961182°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26756 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25228 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.816543579101562 y=0.769912719726562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.816543579101562 × 215)
    floor (0.816543579101562 × 32768)
    floor (26756.5)     		tx = 26756
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.769912719726562 × 215)
    floor (0.769912719726562 × 32768)
    floor (25228.5)     		ty = 25228
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26756 / 25228 ti = "15/26756/25228"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26756/25228.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26756 ÷ 215
    26756 ÷ 32768     		x = 0.8165283203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25228 ÷ 215
    25228 ÷ 32768     		y = 0.7698974609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8165283203125 × 2 - 1) × π
    0.633056640625 × 3.1415926535     		Λ = 1.98880609
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7698974609375 × 2 - 1) × π
    -0.539794921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.69581576095911
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.98880609} λ = 1.98880609}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.69581576095911))-π/2
    2×atan(0.183449517017464)-π/2
    2×0.181432177691435-π/2
    0.362864355382871-1.57079632675     		φ = -1.20793197
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.98880609} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 113.950195°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20793197 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.209404°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26756 KachelY 25228 1.98880609 -1.20793197 113.950195 -69.209404
    Oben rechts KachelX + 1 26757 KachelY 25228 1.98899784 -1.20793197 113.961182 -69.209404
    Unten links KachelX 26756 KachelY + 1 25229 1.98880609 -1.20800003 113.950195 -69.213303
    Unten rechts KachelX + 1 26757 KachelY + 1 25229 1.98899784 -1.20800003 113.961182 -69.213303
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20793197--1.20800003) × R
    6.80600000000364e-05 × 6371000     		dl = 433.610260000232m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20793197--1.20800003) × R
    6.80600000000364e-05 × 6371000     		dr = 433.610260000232m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.98880609-1.98899784) × cos(-1.20793197) × R
    0.000191749999999935 × 0.354953526912602 × 6371000     		do = 433.625160402219m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.98880609-1.98899784) × cos(-1.20800003) × R
    0.000191749999999935 × 0.354889897889139 × 6371000     		du = 433.547428689718m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20793197)-sin(-1.20800003))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.354953526912602-0.354889897889139)×R²
    abs(1.98899784-1.98880609)×6.36290234623527e-05×R²
    0.000191749999999935×6.36290234623527e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.36290234623527e-05×40589641000000     		ar = 188007.465982973m²