Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26754 / 25222
↖ ↑ ↗
← S 69.185993°
E113.928223°		 ← 434.07 m → S 69.185993°
E113.939209°		 →
↑
434.06 m
↓
↑
434.06 m
↓
S 69.189897°
E113.928223°		 ← 433.99 m →
188 394 m²		 S 69.189897°
E113.939209°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26754 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25222 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.816482543945312 y=0.769729614257812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.816482543945312 × 215)
    floor (0.816482543945312 × 32768)
    floor (26754.5)     		tx = 26754
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.769729614257812 × 215)
    floor (0.769729614257812 × 32768)
    floor (25222.5)     		ty = 25222
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26754 / 25222 ti = "15/26754/25222"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26754/25222.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26754 ÷ 215
    26754 ÷ 32768     		x = 0.81646728515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25222 ÷ 215
    25222 ÷ 32768     		y = 0.76971435546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.81646728515625 × 2 - 1) × π
    0.6329345703125 × 3.1415926535     		Λ = 1.98842260
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76971435546875 × 2 - 1) × π
    -0.5394287109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.69466527536823
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.98842260} λ = 1.98842260}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.69466527536823))-π/2
    2×atan(0.183660694498478)-π/2
    2×0.181636471990836-π/2
    0.363272943981672-1.57079632675     		φ = -1.20752338
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.98842260} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 113.928223°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20752338 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.185993°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26754 KachelY 25222 1.98842260 -1.20752338 113.928223 -69.185993
    Oben rechts KachelX + 1 26755 KachelY 25222 1.98861434 -1.20752338 113.939209 -69.185993
    Unten links KachelX 26754 KachelY + 1 25223 1.98842260 -1.20759151 113.928223 -69.189897
    Unten rechts KachelX + 1 26755 KachelY + 1 25223 1.98861434 -1.20759151 113.939209 -69.189897
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20752338--1.20759151) × R
    6.81300000000551e-05 × 6371000     		dl = 434.056230000351m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20752338--1.20759151) × R
    6.81300000000551e-05 × 6371000     		dr = 434.056230000351m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.98842260-1.98861434) × cos(-1.20752338) × R
    0.000191739999999996 × 0.355335481504743 × 6371000     		do = 434.069132700307m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.98842260-1.98861434) × cos(-1.20759151) × R
    0.000191739999999996 × 0.355271796923068 × 6371000     		du = 433.991337173058m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20752338)-sin(-1.20759151))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.355335481504743-0.355271796923068)×R²
    abs(1.98861434-1.98842260)×6.36845816751053e-05×R²
    0.000191739999999996×6.36845816751053e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.36845816751053e-05×40589641000000     		ar = 188393.527555736m²