Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26753 / 43139
↖ ↑ ↗
← S 49.393100°
W 33.041382°		 ← 397.54 m → S 49.393100°
W 33.035889°		 →
↑
397.55 m
↓
↑
397.55 m
↓
S 49.396675°
W 33.041382°		 ← 397.51 m →
158 037 m²		 S 49.396675°
W 33.035889°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26753 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43139 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.408226013183594 y=0.658256530761719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.408226013183594 × 216)
    floor (0.408226013183594 × 65536)
    floor (26753.5)     		tx = 26753
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.658256530761719 × 216)
    floor (0.658256530761719 × 65536)
    floor (43139.5)     		ty = 43139
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26753 / 43139 ti = "16/26753/43139"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26753/43139.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26753 ÷ 216
    26753 ÷ 65536     		x = 0.408218383789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43139 ÷ 216
    43139 ÷ 65536     		y = 0.658248901367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.408218383789062 × 2 - 1) × π
    -0.183563232421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.57668090
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.658248901367188 × 2 - 1) × π
    -0.316497802734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.994307171919205
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.57668090} λ = -0.57668090}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.994307171919205))-π/2
    2×atan(0.369979688084678)-π/2
    2×0.35436205295263-π/2
    0.708724105905259-1.57079632675     		φ = -0.86207222
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.57668090} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.041382°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86207222 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.393100°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26753 KachelY 43139 -0.57668090 -0.86207222 -33.041382 -49.393100
    Oben rechts KachelX + 1 26754 KachelY 43139 -0.57658503 -0.86207222 -33.035889 -49.393100
    Unten links KachelX 26753 KachelY + 1 43140 -0.57668090 -0.86213462 -33.041382 -49.396675
    Unten rechts KachelX + 1 26754 KachelY + 1 43140 -0.57658503 -0.86213462 -33.035889 -49.396675
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86207222--0.86213462) × R
    6.2400000000018e-05 × 6371000     		dl = 397.550400000115m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86207222--0.86213462) × R
    6.2400000000018e-05 × 6371000     		dr = 397.550400000115m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.57668090--0.57658503) × cos(-0.86207222) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.650865651958317 × 6371000     		do = 397.540780129208m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.57668090--0.57658503) × cos(-0.86213462) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.650818277052435 × 6371000     		du = 397.51184411609m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86207222)-sin(-0.86213462))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.650865651958317-0.650818277052435)×R²
    abs(-0.57658503--0.57668090)×4.7374905882136e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.7374905882136e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.7374905882136e-05×40589641000000     		ar = 158036.744446221m²