Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 26753 / 25218
↖ ↑ ↗
← S 69.170373°
E113.917236°		 ← 434.40 m → S 69.170373°
E113.928223°		 →
↑
434.31 m
↓
↑
434.31 m
↓
S 69.174279°
E113.917236°		 ← 434.33 m →
188 649 m²		 S 69.174279°
E113.928223°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26753 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25218 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.816452026367188 y=0.769607543945312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.816452026367188 × 215)
    floor (0.816452026367188 × 32768)
    floor (26753.5)     		tx = 26753
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.769607543945312 × 215)
    floor (0.769607543945312 × 32768)
    floor (25218.5)     		ty = 25218
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26753 / 25218 ti = "15/26753/25218"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26753/25218.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26753 ÷ 215
    26753 ÷ 32768     		x = 0.816436767578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25218 ÷ 215
    25218 ÷ 32768     		y = 0.76959228515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.816436767578125 × 2 - 1) × π
    0.63287353515625 × 3.1415926535     		Λ = 1.98823085
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76959228515625 × 2 - 1) × π
    -0.5391845703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.6938982849743
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.98823085} λ = 1.98823085}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.6938982849743))-π/2
    2×atan(0.183801614522143)-π/2
    2×0.181772790298499-π/2
    0.363545580596998-1.57079632675     		φ = -1.20725075
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.98823085} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 113.917236°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20725075 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.170373°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26753 KachelY 25218 1.98823085 -1.20725075 113.917236 -69.170373
    Oben rechts KachelX + 1 26754 KachelY 25218 1.98842260 -1.20725075 113.928223 -69.170373
    Unten links KachelX 26753 KachelY + 1 25219 1.98823085 -1.20731892 113.917236 -69.174279
    Unten rechts KachelX + 1 26754 KachelY + 1 25219 1.98842260 -1.20731892 113.928223 -69.174279
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20725075--1.20731892) × R
    6.8170000000034e-05 × 6371000     		dl = 434.311070000217m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20725075--1.20731892) × R
    6.8170000000034e-05 × 6371000     		dr = 434.311070000217m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.98823085-1.98842260) × cos(-1.20725075) × R
    0.000191749999999935 × 0.355590306145506 × 6371000     		do = 434.403074906719m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.98823085-1.98842260) × cos(-1.20731892) × R
    0.000191749999999935 × 0.355526590779061 × 6371000     		du = 434.325237714242m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20725075)-sin(-1.20731892))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.355590306145506-0.355526590779061)×R²
    abs(1.98842260-1.98823085)×6.37153664448387e-05×R²
    0.000191749999999935×6.37153664448387e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.37153664448387e-05×40589641000000     		ar = 188649.161569373m²