Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26748 / 25217
↖ ↑ ↗
← S 69.166466°
E113.862305°		 ← 434.48 m → S 69.166466°
E113.873291°		 →
↑
434.44 m
↓
↑
434.44 m
↓
S 69.170373°
E113.862305°		 ← 434.40 m →
188 738 m²		 S 69.170373°
E113.873291°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26748 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25217 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.816299438476562 y=0.769577026367188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.816299438476562 × 215)
    floor (0.816299438476562 × 32768)
    floor (26748.5)     		tx = 26748
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.769577026367188 × 215)
    floor (0.769577026367188 × 32768)
    floor (25217.5)     		ty = 25217
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26748 / 25217 ti = "15/26748/25217"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26748/25217.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26748 ÷ 215
    26748 ÷ 32768     		x = 0.8162841796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25217 ÷ 215
    25217 ÷ 32768     		y = 0.769561767578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8162841796875 × 2 - 1) × π
    0.632568359375 × 3.1415926535     		Λ = 1.98727211
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.769561767578125 × 2 - 1) × π
    -0.53912353515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.69370653737582
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.98727211} λ = 1.98727211}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.69370653737582))-π/2
    2×atan(0.18383686141947)-π/2
    2×0.181806885147505-π/2
    0.36361377029501-1.57079632675     		φ = -1.20718256
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.98727211} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 113.862305°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20718256 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.166466°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26748 KachelY 25217 1.98727211 -1.20718256 113.862305 -69.166466
    Oben rechts KachelX + 1 26749 KachelY 25217 1.98746386 -1.20718256 113.873291 -69.166466
    Unten links KachelX 26748 KachelY + 1 25218 1.98727211 -1.20725075 113.862305 -69.170373
    Unten rechts KachelX + 1 26749 KachelY + 1 25218 1.98746386 -1.20725075 113.873291 -69.170373
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20718256--1.20725075) × R
    6.81900000001345e-05 × 6371000     		dl = 434.438490000857m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20718256--1.20725075) × R
    6.81900000001345e-05 × 6371000     		dr = 434.438490000857m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.98727211-1.98746386) × cos(-1.20718256) × R
    0.000191750000000157 × 0.355654038551823 × 6371000     		do = 434.480932916277m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.98727211-1.98746386) × cos(-1.20725075) × R
    0.000191750000000157 × 0.355590306145506 × 6371000     		du = 434.403074907222m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20718256)-sin(-1.20725075))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.355654038551823-0.355590306145506)×R²
    abs(1.98746386-1.98727211)×6.37324063175182e-05×R²
    0.000191750000000157×6.37324063175182e-05×6371000²
    0.000191750000000157×6.37324063175182e-05×40589641000000     		ar = 188738.328245983m²