Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26745 / 25190
↖ ↑ ↗
← S 69.060712°
E113.829346°		 ← 436.59 m → S 69.060712°
E113.840332°		 →
↑
436.54 m
↓
↑
436.54 m
↓
S 69.064638°
E113.829346°		 ← 436.51 m →
190 571 m²		 S 69.064638°
E113.840332°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26745 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25190 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.816207885742188 y=0.768753051757812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.816207885742188 × 215)
    floor (0.816207885742188 × 32768)
    floor (26745.5)     		tx = 26745
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.768753051757812 × 215)
    floor (0.768753051757812 × 32768)
    floor (25190.5)     		ty = 25190
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26745 / 25190 ti = "15/26745/25190"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26745/25190.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26745 ÷ 215
    26745 ÷ 32768     		x = 0.816192626953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25190 ÷ 215
    25190 ÷ 32768     		y = 0.76873779296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.816192626953125 × 2 - 1) × π
    0.63238525390625 × 3.1415926535     		Λ = 1.98669687
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76873779296875 × 2 - 1) × π
    -0.5374755859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.68852935221686
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.98669687} λ = 1.98669687}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.68852935221686))-π/2
    2×atan(0.184791086859615)-π/2
    2×0.182729758987971-π/2
    0.365459517975943-1.57079632675     		φ = -1.20533681
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.98669687} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 113.829346°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20533681 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.060712°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26745 KachelY 25190 1.98669687 -1.20533681 113.829346 -69.060712
    Oben rechts KachelX + 1 26746 KachelY 25190 1.98688862 -1.20533681 113.840332 -69.060712
    Unten links KachelX 26745 KachelY + 1 25191 1.98669687 -1.20540533 113.829346 -69.064638
    Unten rechts KachelX + 1 26746 KachelY + 1 25191 1.98688862 -1.20540533 113.840332 -69.064638
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20533681--1.20540533) × R
    6.85200000001274e-05 × 6371000     		dl = 436.540920000811m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20533681--1.20540533) × R
    6.85200000001274e-05 × 6371000     		dr = 436.540920000811m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.98669687-1.98688862) × cos(-1.20533681) × R
    0.000191749999999935 × 0.357378502332637 × 6371000     		do = 436.587605555618m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.98669687-1.98688862) × cos(-1.20540533) × R
    0.000191749999999935 × 0.357314506579322 × 6371000     		du = 436.509425831536m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20533681)-sin(-1.20540533))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.357378502332637-0.357314506579322)×R²
    abs(1.98688862-1.98669687)×6.39957533142832e-05×R²
    0.000191749999999935×6.39957533142832e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.39957533142832e-05×40589641000000     		ar = 190571.290739945m²