Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26745 / 11038
↖ ↑ ↗
← N 50.527397°
E113.829346°		 ← 776.61 m → N 50.527397°
E113.840332°		 →
↑
776.69 m
↓
↑
776.69 m
↓
N 50.520412°
E113.829346°		 ← 776.72 m →
603 227 m²		 N 50.520412°
E113.840332°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26745 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11038 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.816207885742188 y=0.336868286132812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.816207885742188 × 215)
    floor (0.816207885742188 × 32768)
    floor (26745.5)     		tx = 26745
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.336868286132812 × 215)
    floor (0.336868286132812 × 32768)
    floor (11038.5)     		ty = 11038
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26745 / 11038 ti = "15/26745/11038"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26745/11038.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26745 ÷ 215
    26745 ÷ 32768     		x = 0.816192626953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11038 ÷ 215
    11038 ÷ 32768     		y = 0.33685302734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.816192626953125 × 2 - 1) × π
    0.63238525390625 × 3.1415926535     		Λ = 1.98669687
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33685302734375 × 2 - 1) × π
    0.3262939453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.02508266147528
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.98669687} λ = 1.98669687}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.02508266147528))-π/2
    2×atan(2.78732585551063)-π/2
    2×1.22633288181496-π/2
    2.45266576362992-1.57079632675     		φ = 0.88186944
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.98669687} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 113.829346°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88186944 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.527397°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26745 KachelY 11038 1.98669687 0.88186944 113.829346 50.527397
    Oben rechts KachelX + 1 26746 KachelY 11038 1.98688862 0.88186944 113.840332 50.527397
    Unten links KachelX 26745 KachelY + 1 11039 1.98669687 0.88174753 113.829346 50.520412
    Unten rechts KachelX + 1 26746 KachelY + 1 11039 1.98688862 0.88174753 113.840332 50.520412
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88186944-0.88174753) × R
    0.000121910000000058 × 6371000     		dl = 776.688610000372m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88186944-0.88174753) × R
    0.000121910000000058 × 6371000     		dr = 776.688610000372m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.98669687-1.98688862) × cos(0.88186944) × R
    0.000191749999999935 × 0.635709181588591 × 6371000     		do = 776.607287813737m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.98669687-1.98688862) × cos(0.88174753) × R
    0.000191749999999935 × 0.635803282685774 × 6371000     		du = 776.722245407523m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88186944)-sin(0.88174753))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.635709181588591-0.635803282685774)×R²
    abs(1.98688862-1.98669687)×9.4101097182886e-05×R²
    0.000191749999999935×9.4101097182886e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.4101097182886e-05×40589641000000     		ar = 603226.678761763m²