Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26743 / 7607
↖ ↑ ↗
← N 79.758726°
W 33.096313°		 ← 108.59 m → N 79.758726°
W 33.090821°		 →
↑
108.63 m
↓
↑
108.63 m
↓
N 79.757749°
W 33.096313°		 ← 108.60 m →
11 797 m²		 N 79.757749°
W 33.090821°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26743 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7607 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.408073425292969 y=0.116081237792969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.408073425292969 × 216)
    floor (0.408073425292969 × 65536)
    floor (26743.5)     		tx = 26743
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.116081237792969 × 216)
    floor (0.116081237792969 × 65536)
    floor (7607.5)     		ty = 7607
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26743 / 7607 ti = "16/26743/7607"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26743/7607.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26743 ÷ 216
    26743 ÷ 65536     		x = 0.408065795898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7607 ÷ 216
    7607 ÷ 65536     		y = 0.116073608398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.408065795898438 × 2 - 1) × π
    -0.183868408203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.57763964
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.116073608398438 × 2 - 1) × π
    0.767852783203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.41228066268047
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.57763964} λ = -0.57763964}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.41228066268047))-π/2
    2×atan(11.159382932977)-π/2
    2×1.48142434834367-π/2
    2.96284869668733-1.57079632675     		φ = 1.39205237
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.57763964} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.096313°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39205237 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.758726°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26743 KachelY 7607 -0.57763964 1.39205237 -33.096313 79.758726
    Oben rechts KachelX + 1 26744 KachelY 7607 -0.57754377 1.39205237 -33.090821 79.758726
    Unten links KachelX 26743 KachelY + 1 7608 -0.57763964 1.39203532 -33.096313 79.757749
    Unten rechts KachelX + 1 26744 KachelY + 1 7608 -0.57754377 1.39203532 -33.090821 79.757749
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39205237-1.39203532) × R
    1.7050000000074e-05 × 6371000     		dl = 108.625550000471m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39205237-1.39203532) × R
    1.7050000000074e-05 × 6371000     		dr = 108.625550000471m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.57763964--0.57754377) × cos(1.39205237) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.177793682343048 × 6371000     		do = 108.594206758396m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.57763964--0.57754377) × cos(1.39203532) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.177810460672948 × 6371000     		du = 108.6044547571m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39205237)-sin(1.39203532))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.177793682343048-0.177810460672948)×R²
    abs(-0.57754377--0.57763964)×1.6778329900019e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.6778329900019e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.6778329900019e-05×40589641000000     		ar = 11796.662033655m²