Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26742 / 10902
↖ ↑ ↗
← N 51.467697°
E113.796387°		 ← 760.99 m → N 51.467697°
E113.807373°		 →
↑
761.08 m
↓
↑
761.08 m
↓
N 51.460852°
E113.796387°		 ← 761.10 m →
579 216 m²		 N 51.460852°
E113.807373°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26742 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10902 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.816116333007812 y=0.332717895507812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.816116333007812 × 215)
    floor (0.816116333007812 × 32768)
    floor (26742.5)     		tx = 26742
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.332717895507812 × 215)
    floor (0.332717895507812 × 32768)
    floor (10902.5)     		ty = 10902
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26742 / 10902 ti = "15/26742/10902"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26742/10902.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26742 ÷ 215
    26742 ÷ 32768     		x = 0.81610107421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10902 ÷ 215
    10902 ÷ 32768     		y = 0.33270263671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.81610107421875 × 2 - 1) × π
    0.6322021484375 × 3.1415926535     		Λ = 1.98612163
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33270263671875 × 2 - 1) × π
    0.3345947265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.05116033486859
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.98612163} λ = 1.98612163}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05116033486859))-π/2
    2×atan(2.86096887477988)-π/2
    2×1.23453854854047-π/2
    2.46907709708094-1.57079632675     		φ = 0.89828077
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.98612163} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 113.796387°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89828077 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.467697°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26742 KachelY 10902 1.98612163 0.89828077 113.796387 51.467697
    Oben rechts KachelX + 1 26743 KachelY 10902 1.98631337 0.89828077 113.807373 51.467697
    Unten links KachelX 26742 KachelY + 1 10903 1.98612163 0.89816131 113.796387 51.460852
    Unten rechts KachelX + 1 26743 KachelY + 1 10903 1.98631337 0.89816131 113.807373 51.460852
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89828077-0.89816131) × R
    0.00011945999999996 × 6371000     		dl = 761.079659999746m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89828077-0.89816131) × R
    0.00011945999999996 × 6371000     		dr = 761.079659999746m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.98612163-1.98631337) × cos(0.89828077) × R
    0.000191739999999996 × 0.622955768067913 × 6371000     		do = 760.987528773659m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.98612163-1.98631337) × cos(0.89816131) × R
    0.000191739999999996 × 0.623049212051311 × 6371000     		du = 761.101677658138m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89828077)-sin(0.89816131))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.622955768067913-0.623049212051311)×R²
    abs(1.98631337-1.98612163)×9.3443983398056e-05×R²
    0.000191739999999996×9.3443983398056e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.3443983398056e-05×40589641000000     		ar = 579215.56854873m²