Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26739 / 25199
↖ ↑ ↗
← S 69.096020°
E113.763428°		 ← 435.88 m → S 69.096020°
E113.774414°		 →
↑
435.84 m
↓
↑
435.84 m
↓
S 69.099940°
E113.763428°		 ← 435.81 m →
189 959 m²		 S 69.099940°
E113.774414°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26739 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25199 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.816024780273438 y=0.769027709960938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.816024780273438 × 215)
    floor (0.816024780273438 × 32768)
    floor (26739.5)     		tx = 26739
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.769027709960938 × 215)
    floor (0.769027709960938 × 32768)
    floor (25199.5)     		ty = 25199
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26739 / 25199 ti = "15/26739/25199"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26739/25199.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26739 ÷ 215
    26739 ÷ 32768     		x = 0.816009521484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25199 ÷ 215
    25199 ÷ 32768     		y = 0.769012451171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.816009521484375 × 2 - 1) × π
    0.63201904296875 × 3.1415926535     		Λ = 1.98554638
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.769012451171875 × 2 - 1) × π
    -0.53802490234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.69025508060318
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.98554638} λ = 1.98554638}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.69025508060318))-π/2
    2×atan(0.184472462643984)-π/2
    2×0.182421638268606-π/2
    0.364843276537211-1.57079632675     		φ = -1.20595305
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.98554638} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 113.763428°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20595305 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.096020°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26739 KachelY 25199 1.98554638 -1.20595305 113.763428 -69.096020
    Oben rechts KachelX + 1 26740 KachelY 25199 1.98573813 -1.20595305 113.774414 -69.096020
    Unten links KachelX 26739 KachelY + 1 25200 1.98554638 -1.20602146 113.763428 -69.099940
    Unten rechts KachelX + 1 26740 KachelY + 1 25200 1.98573813 -1.20602146 113.774414 -69.099940
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20595305--1.20602146) × R
    6.84100000001298e-05 × 6371000     		dl = 435.840110000827m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20595305--1.20602146) × R
    6.84100000001298e-05 × 6371000     		dr = 435.840110000827m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.98554638-1.98573813) × cos(-1.20595305) × R
    0.000191750000000157 × 0.356802891223974 × 6371000     		do = 435.884416433045m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.98554638-1.98573813) × cos(-1.20602146) × R
    0.000191750000000157 × 0.356738983156393 × 6371000     		du = 435.806343829296m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20595305)-sin(-1.20602146))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.356802891223974-0.356738983156393)×R²
    abs(1.98573813-1.98554638)×6.39080675811088e-05×R²
    0.000191750000000157×6.39080675811088e-05×6371000²
    0.000191750000000157×6.39080675811088e-05×40589641000000     		ar = 189958.898493702m²