Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26738 / 25197
↖ ↑ ↗
← S 69.088179°
E113.752441°		 ← 436.04 m → S 69.088179°
E113.763428°		 →
↑
436.03 m
↓
↑
436.03 m
↓
S 69.092100°
E113.752441°		 ← 435.96 m →
190 110 m²		 S 69.092100°
E113.763428°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26738 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25197 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.815994262695312 y=0.768966674804688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.815994262695312 × 215)
    floor (0.815994262695312 × 32768)
    floor (26738.5)     		tx = 26738
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.768966674804688 × 215)
    floor (0.768966674804688 × 32768)
    floor (25197.5)     		ty = 25197
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26738 / 25197 ti = "15/26738/25197"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26738/25197.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26738 ÷ 215
    26738 ÷ 32768     		x = 0.81597900390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25197 ÷ 215
    25197 ÷ 32768     		y = 0.768951416015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.81597900390625 × 2 - 1) × π
    0.6319580078125 × 3.1415926535     		Λ = 1.98535463
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.768951416015625 × 2 - 1) × π
    -0.53790283203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.68987158540622
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.98535463} λ = 1.98535463}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.68987158540622))-π/2
    2×atan(0.184543220514164)-π/2
    2×0.182490066622483-π/2
    0.364980133244966-1.57079632675     		φ = -1.20581619
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.98535463} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 113.752441°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20581619 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.088179°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26738 KachelY 25197 1.98535463 -1.20581619 113.752441 -69.088179
    Oben rechts KachelX + 1 26739 KachelY 25197 1.98554638 -1.20581619 113.763428 -69.088179
    Unten links KachelX 26738 KachelY + 1 25198 1.98535463 -1.20588463 113.752441 -69.092100
    Unten rechts KachelX + 1 26739 KachelY + 1 25198 1.98554638 -1.20588463 113.763428 -69.092100
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20581619--1.20588463) × R
    6.84399999999474e-05 × 6371000     		dl = 436.031239999665m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20581619--1.20588463) × R
    6.84399999999474e-05 × 6371000     		dr = 436.031239999665m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.98535463-1.98554638) × cos(-1.20581619) × R
    0.000191749999999935 × 0.356930739714636 × 6371000     		do = 436.040601166785m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.98535463-1.98554638) × cos(-1.20588463) × R
    0.000191749999999935 × 0.356866806963296 × 6371000     		du = 435.962498408389m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20581619)-sin(-1.20588463))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.356930739714636-0.356866806963296)×R²
    abs(1.98554638-1.98535463)×6.39327513396459e-05×R²
    0.000191749999999935×6.39327513396459e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.39327513396459e-05×40589641000000     		ar = 190110.296470288m²