Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26737 / 25198
↖ ↑ ↗
← S 69.092100°
E113.741455°		 ← 435.94 m → S 69.092100°
E113.752441°		 →
↑
435.90 m
↓
↑
435.90 m
↓
S 69.096020°
E113.741455°		 ← 435.86 m →
190 011 m²		 S 69.096020°
E113.752441°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26737 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25198 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.815963745117188 y=0.768997192382812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.815963745117188 × 215)
    floor (0.815963745117188 × 32768)
    floor (26737.5)     		tx = 26737
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.768997192382812 × 215)
    floor (0.768997192382812 × 32768)
    floor (25198.5)     		ty = 25198
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26737 / 25198 ti = "15/26737/25198"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26737/25198.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26737 ÷ 215
    26737 ÷ 32768     		x = 0.815948486328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25198 ÷ 215
    25198 ÷ 32768     		y = 0.76898193359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.815948486328125 × 2 - 1) × π
    0.63189697265625 × 3.1415926535     		Λ = 1.98516289
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76898193359375 × 2 - 1) × π
    -0.5379638671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.6900633330047
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.98516289} λ = 1.98516289}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.6900633330047))-π/2
    2×atan(0.184507838187162)-π/2
    2×0.182455849381288-π/2
    0.364911698762576-1.57079632675     		φ = -1.20588463
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.98516289} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 113.741455°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20588463 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.092100°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26737 KachelY 25198 1.98516289 -1.20588463 113.741455 -69.092100
    Oben rechts KachelX + 1 26738 KachelY 25198 1.98535463 -1.20588463 113.752441 -69.092100
    Unten links KachelX 26737 KachelY + 1 25199 1.98516289 -1.20595305 113.741455 -69.096020
    Unten rechts KachelX + 1 26738 KachelY + 1 25199 1.98535463 -1.20595305 113.752441 -69.096020
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20588463--1.20595305) × R
    6.8420000000069e-05 × 6371000     		dl = 435.903820000439m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20588463--1.20595305) × R
    6.8420000000069e-05 × 6371000     		dr = 435.903820000439m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.98516289-1.98535463) × cos(-1.20588463) × R
    0.000191739999999996 × 0.356866806963296 × 6371000     		do = 435.939762424255m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.98516289-1.98535463) × cos(-1.20595305) × R
    0.000191739999999996 × 0.356802891223974 × 6371000     		du = 435.861684520478m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20588463)-sin(-1.20595305))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.356866806963296-0.356802891223974)×R²
    abs(1.98535463-1.98516289)×6.3915739322018e-05×R²
    0.000191739999999996×6.3915739322018e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.3915739322018e-05×40589641000000     		ar = 190010.790576376m²