Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26736 / 7591
↖ ↑ ↗
← N 79.774340°
W 33.134766°		 ← 108.44 m → N 79.774340°
W 33.129272°		 →
↑
108.43 m
↓
↑
108.43 m
↓
N 79.773365°
W 33.134766°		 ← 108.45 m →
11 759 m²		 N 79.773365°
W 33.129272°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26736 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7591 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.407966613769531 y=0.115837097167969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.407966613769531 × 216)
    floor (0.407966613769531 × 65536)
    floor (26736.5)     		tx = 26736
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.115837097167969 × 216)
    floor (0.115837097167969 × 65536)
    floor (7591.5)     		ty = 7591
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26736 / 7591 ti = "16/26736/7591"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26736/7591.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26736 ÷ 216
    26736 ÷ 65536     		x = 0.407958984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7591 ÷ 216
    7591 ÷ 65536     		y = 0.115829467773438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.407958984375 × 2 - 1) × π
    -0.18408203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.57831076
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.115829467773438 × 2 - 1) × π
    0.768341064453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.41381464346831
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.57831076} λ = -0.57831076}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.41381464346831))-π/2
    2×atan(11.176514348272)-π/2
    2×1.48156061151521-π/2
    2.96312122303042-1.57079632675     		φ = 1.39232490
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.57831076} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.134766°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39232490 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.774340°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26736 KachelY 7591 -0.57831076 1.39232490 -33.134766 79.774340
    Oben rechts KachelX + 1 26737 KachelY 7591 -0.57821488 1.39232490 -33.129272 79.774340
    Unten links KachelX 26736 KachelY + 1 7592 -0.57831076 1.39230788 -33.134766 79.773365
    Unten rechts KachelX + 1 26737 KachelY + 1 7592 -0.57821488 1.39230788 -33.129272 79.773365
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39232490-1.39230788) × R
    1.70200000000342e-05 × 6371000     		dl = 108.434420000218m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39232490-1.39230788) × R
    1.70200000000342e-05 × 6371000     		dr = 108.434420000218m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.57831076--0.57821488) × cos(1.39232490) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.177525487750177 × 6371000     		do = 108.441706929972m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.57831076--0.57821488) × cos(1.39230788) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.17754223738224 × 6371000     		du = 108.451938467507m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39232490)-sin(1.39230788))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.177525487750177-0.17754223738224)×R²
    abs(-0.57821488--0.57831076)×1.67496320631344e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.67496320631344e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.67496320631344e-05×40589641000000     		ar = 11759.3683203311m²