Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26735 / 11047
↖ ↑ ↗
← N 50.464498°
E113.719482°		 ← 777.64 m → N 50.464498°
E113.730469°		 →
↑
777.64 m
↓
↑
777.64 m
↓
N 50.457504°
E113.719482°		 ← 777.76 m →
604 774 m²		 N 50.457504°
E113.730469°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26735 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11047 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.815902709960938 y=0.337142944335938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.815902709960938 × 215)
    floor (0.815902709960938 × 32768)
    floor (26735.5)     		tx = 26735
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.337142944335938 × 215)
    floor (0.337142944335938 × 32768)
    floor (11047.5)     		ty = 11047
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26735 / 11047 ti = "15/26735/11047"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26735/11047.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26735 ÷ 215
    26735 ÷ 32768     		x = 0.815887451171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11047 ÷ 215
    11047 ÷ 32768     		y = 0.337127685546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.815887451171875 × 2 - 1) × π
    0.63177490234375 × 3.1415926535     		Λ = 1.98477939
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.337127685546875 × 2 - 1) × π
    0.32574462890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.02335693308896
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.98477939} λ = 1.98477939}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.02335693308896))-π/2
    2×atan(2.78251983629449)-π/2
    2×1.22578398571111-π/2
    2.45156797142222-1.57079632675     		φ = 0.88077164
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.98477939} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 113.719482°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88077164 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.464498°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26735 KachelY 11047 1.98477939 0.88077164 113.719482 50.464498
    Oben rechts KachelX + 1 26736 KachelY 11047 1.98497114 0.88077164 113.730469 50.464498
    Unten links KachelX 26735 KachelY + 1 11048 1.98477939 0.88064958 113.719482 50.457504
    Unten rechts KachelX + 1 26736 KachelY + 1 11048 1.98497114 0.88064958 113.730469 50.457504
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88077164-0.88064958) × R
    0.000122059999999924 × 6371000     		dl = 777.644259999515m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88077164-0.88064958) × R
    0.000122059999999924 × 6371000     		dr = 777.644259999515m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.98477939-1.98497114) × cos(0.88077164) × R
    0.000191750000000157 × 0.636556221620188 × 6371000     		do = 777.642065163558m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.98477939-1.98497114) × cos(0.88064958) × R
    0.000191750000000157 × 0.636650353248546 × 6371000     		du = 777.757060055425m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88077164)-sin(0.88064958))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.636556221620188-0.636650353248546)×R²
    abs(1.98497114-1.98477939)×9.41316283573634e-05×R²
    0.000191750000000157×9.41316283573634e-05×6371000²
    0.000191750000000157×9.41316283573634e-05×40589641000000     		ar = 604773.601618682m²